Límite de una función
Aquí encontrarás qué son los límites de funciones y cómo se calculan todos los tipos de límites. Y no solo verás qué significa el límite de una función, sino que también te explicamos para qué se usan. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de límites de funciones.
Límites
CAPÍTULO 1
1.1
Introducción a límites
Los temas estudiados en el capítulo anterior son parte de lo que se denomina precálcu-
lo. Proporcionan los fundamentos para el cálculo, pero no son cálculo. Ahora estamos
listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Ésta es la idea que distingue
al cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir cálculo de
esta manera:
El cálculo es el estudio de los límites.
Problemas que conducen al concepto de límite El concepto de límite es
primordial para muchos problemas en física, ingeniería y ciencias sociales. Básicamen-
te, la pregunta es ésta: ¿qué le pasa con la función f(x) cuando xse acerca a alguna
constante c? Existen variaciones de este tema, pero la idea básica es la misma en mu-
chas circunstancias.
Suponga que cuando un objeto se mueve de forma constante hacia adelante cono-
cemos su posición en cualquier momento. Denotamos la posición en el instante tpor
s(t). ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto en el instante t=1? Podemos utilizar
la fórmula “distancias iguales a tiempos iguales” para determinar la rapidez (tasa de
cambio de la posición) en cualquier intervalo de tiempo; en otras palabras
A esto le llamamos la rapidez “promedio” en el intervalo, ya que sin importar qué tan
pequeño sea el intervalo, nunca sabemos si la rapidez es constante en este intervalo. Por
ejemplo, en el intervalo [1, 2], la rapidez promedio es en el intervalo
[1, 1.2], la rapidez promedio es en el intervalo [1, 1.02], la rapidez prome-
dio es etcétera ¿Qué tan rápido viaja el objeto en el instante t=1? Para
dar significado a esta rapidez “instantánea” debemos hablar acerca del límite de la ra-
pidez promedio en intervalos cada vez más pequeños.
Podemos determinar áreas de rectángulos y triángulos por medio de fórmulas de
geometría; pero, ¿qué hay de regiones con fronteras curvas, como un círculo? Arquí-
medes tuvo esta idea hace más de dos mil años. Imagine polígonos regulares inscritos
en un círculo, como se muestra en la figura 1.Arquímedes determinó el área de un po-
lígono regular con nlados, y tomando el polígono cada vez con más lados fue capaz de
aproximar el área de un círculo a cualquier nivel de precisión.En otras palabras, el área
del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos cuando n(el número de
lados del polígono) aumenta tanto como se quiera.
Considere la gráfica de la función y=f(x), para a…x…b. Si la gráfica es una línea
recta, la longitud de la curva es fácil de determinar mediante la fórmula de la distancia.
Sin embargo, ¿qué sucede si la gráfica es curvada? Podemos determinar una gran can-
tidad de puntos a lo largo de la curva y conectarlos con segmentos de recta, como se
muestra en la figura 2.Si sumamos las longitudes de estos segmentos de recta, debemos
obtener una suma que es aproximadamente la longitud de la curva.De hecho, por “lon-
gitud de la curva” queremos decir el límite de la suma de las longitudes de estos seg-
mentos de recta, cuando el número de éstos aumenta tanto como se desee.
Los últimos tres párrafos describen situaciones que conducen al concepto de límite.
Existen muchos otros y los estudiaremos a lo largo del texto. Iniciamos con una explica-
ción intuitiva de límites. La definición precisa se da en la siguiente sección.
s11.022-s112
1.02 -1,
s11.22-s112
1.2 -1;
s122-s112
2-1;
rapidez =distancia
tiempo
1.1 Introducción
a límites
1.2 Estudio riguroso
(formal) de límites
1.3 Teoremas de
límites
1.4 Límites que
involucran
funciones
trigonométricas
1.5 Límites al infinito;
límites infinitos
1.6 Continuidad
de funciones
1.7 Repaso
P
3
P
2
P
1
Figura 1
y
x
–2 6
25
42
20
15
10
5
Figura 2
56 Capítulo 1 Límites
Una noción intuitiva Considere la función definida por
Observe que no está definida en x=1, ya que en este punto f(x) tiene la forma que
carece de significado. Sin embargo, aún podemos preguntarnos qué le está sucediendo
a f(x) cuando xse aproxima a 1. Con mayor precisión, ¿cuando xse aproxima a 1, f(x)
se está aproximando a algún número específico? Para obtener la respuesta podemos ha-
cer tres cosas: calcular algunos valores de f(x) para xcercana a 1; mostrar estos valores
en un diagrama esquemático, y bosquejar la gráfica de y=f(x). Todo esto se ha hecho
y los resultados se muestran en la figura 3.
0
0,
f1x2=x3-1
x-1
1
2
3
4
←
x
y
x
f
(
x
)
f
(
f
f
x
)
G
ráfica de
y
=
x
x
y
3
.
81
3
3
.
31
0
3
.
03
0
3
.
00
3
2.
997
2.
9
7
0
2
.
71
0
2
.
31
3
0
.
7
5
0.
9
0.
99
0.
999
1
.
00
1
1
.
0
1
1
.1
1
.
2
5
x
1
.
2
5
1
.1
1
.
0
1
1
.
00
1
↓
1
.
00
0
↑
0.
999
0.
99
0.
9
0
.
7
5
3
.
81
3
3
.
31
0
3
.
03
0
3.
00
3
↓
?
↑
2.
997
2.
9
7
0
2
.
71
0
2
.
31
3
y
=
x
–
1
–
x
–
1
–
Tabl
a
de val
o
re
s
D
ia
g
ram
a
es
q
uemátic
o
Figura 3
Toda la información que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusión: f(x)
se aproxima a 3 cuando xse aproxima a 1. En símbolos matemáticos, escribimos
Esto se lee “el límite de cuando xtiende a 1 es 3”.
Como buenos algebristas (es decir, conociendo cómo se factoriza una diferencia
de cubos), podemos proporcionar más y mejor evidencia,
Observe que (x-1)>(x-1) =1 siempre que xZ1. Esto justifica el segundo paso. El tercer
paso parece razonable; pero posteriormente se hará una justificación rigurosa.
Para asegurarnos de que estamos en el camino correcto, necesitamos tener una
clara comprensión del significado de la palabra límite.A continuación haremos nuestro
primer intento de una definición.
=lím
x:11x2+x+12=12+1+1=3
lím
x:1
x3-1
x-1=lím
x:1 1x-121x2+x+12
x-1
1x3-12>1x-12
lím
x:1
x3-1
x-1=3
Sección 1.1 Introducción a límites 57
Obsérvese que no pedimos nada en c.Incluso, la función no necesita estar definida
en c, como no lo estaba en el ejemplo f(x) =(x3-1)>(x-1) recién considerado. La no-
ción de límite está asociada con el comportamiento de una función cuando x está cerca
de c, pero no en c.
Seguramente, un lector cauto,objetará nuestro uso de la palabra cerca. ¿Qué signi-
fica cerca? ¿Qué tan cerca es cerca? Para precisar respuestas, tendrá que estudiar la
siguiente sección; no obstante, algunos ejemplos más le ayudarán a aclarar la idea.
Más ejemplos Nuestro primer ejemplo es casi trivial aunque no menos importante.
■EJEMPLO 1 Determine
SOLUCIÓN Cuando xestá cerca de 3, 4x-5 está cerca de Escribimos
■
■EJEMPLO 2 Encuentre
SOLUCIÓN Observe que (x2-x-6)>(x-3) no está definida en x=3, pero todo está
bien. Para tener una idea de lo que está sucediendo cuando xse aproxima a 3,podríamos
emplear una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001,
etcétera. Pero es mucho mejor utilizar un poco de álgebra para simplificar el problema.
La cancelación de x-3 en el segundo paso es válida ya que la definición de límite ignora
el comportamiento en x =3. Recuerde, siempre que xno sea igual a 3. ■
■EJEMPLO 3 Determine
SOLUCIÓN Ningún truco algebraico simplificará nuestra tarea; ciertamente, no po-
demos cancelar las x. Una calculadora nos ayudará a tener una idea del límite. Utilice
su propia calculadora (en modo de radianes) para verificar los valores en la tabla de la
figura 4. La figura 5 muestra una gráfica de y=(sen x)>x. Nuestra conclusión, aunque
admitimos que es poco firme, es que
Daremos una demostración rigurosa en la sección 1.4. ■
Algunas señales de alerta Las cosas no son tan sencillas como parecen. Las
calculadoras podrían engañarnos, así como nuestra intuición. Los ejemplos que siguen
sugieren algunas dificultades posibles.
lím
x:0
sen x
x=1
lím
x:0
sen x
x.
x-3
x-3=1
lím
x:31x+22=3+2=5lím
x:3
x2-x-6
x-3=lím
x:3 1x-321x+22
x-3=
lím
x:3
x2-x-6
x-3.
lím
x:314x-52=7
4#3-5=7.
lím
x:314x-52.
Definición Significado intuitivo de límite
Decir que significa que cuando xestá cerca pero diferente de c,
entonces f(x) está cerca de L.
lím
x:c f1x2=L
x
s
en
x
x
1
.0
0
.1
0
.
0
1
0
0
.
8414
7
0.
99
83
3
0.
99998
?
–
0
.
0
1
0.
99998
–
0
.
1 0.
99
83
3
–
1
.
0 0
.
8414
7
↓
↑
↓
↑
Figura 4
–
2.
5
y
x
7.
5
1.
0
0
–
–
5
–
7.
5
5
2.
5
0.8
0.
0.6
0
0
.
4
0
.
2
–
0
.
2
Figura 5
58 Capítulo 1 Límites
x
x
2
cos
x
10
,
00
0
_
1
0
.
5
0
.
1
0
0.
99995
0.24
991
0.00
990
?
↓
↓
0
.
01
0
.
000000005
Figura 6
1
2
3
4
1
2
3
y
x
y
=
x
Figura 7
x
s
en
1
x
2
/
π
2/(2 )
2/(3 )
2/(4 )
2/(5 )
2/(6 )
2/(7 )
2/(8 )
2/(9 )
2/(11 )
2/(12 )
2/(10 )
0
0
1
–
1
1
0
0
0
–
1
1
–
1
0
0
?
↓
↓
Figura 8
y
x
–
2
2
π
–
4
2
6
2
4
π
2
2
π
2
π
1
x
y
= s
e
n(
)
–
–
1
1
1
1
1
1
Figura 9
■EJEMPLO 4 (Su calculadora puede engañarlo). Determine
SOLUCIÓN Siguiendo el procedimiento utilizado en el ejemplo 3, construimos la ta-
bla de valores que se muestra en la figura 6. La conclusión que sugiere es que el límite
deseado es 0. Pero esto es incorrecto. Si recordamos la gráfica de y=cos x, nos damos
cuenta de que cos xse aproxima a 1 cuando xtiende a 0. Por lo tanto,
■
■EJEMPLO 5 (No hay límite en un salto). Determine
SOLUCIÓN Recuerde que denota al entero más grande que es menor o igual a x
(véase la sección 0.5). La gráfica de se muestra en la figura 7. Para todos los
números xmenores a 2, pero cercanos a 2, pero para todos los números x
mayores que 2, pero cercanos a 2, ¿Está cerca de un solo número Lcuando
xestá cerca de 2? No. No importa qué número propongamos para L,habrá xarbitraria-
mente cercanas a 2 a cada lado, donde difiere de Len al menos Nuestra conclusión
es que no existe. Si usted verifica lo anterior, verá que no hemos afirmado que
todo límite que podamos escribir deba existir. ■
■EJEMPLO 6 (Demasiadas oscilaciones). Determine
SOLUCIÓN Este ejemplo plantea la interrogante más sutil acerca de límites que ha-
yamos manifestado hasta el momento. Ya que no queremos hacer larga la historia, le
pedimos que haga dos cosas. Primera, escoja una sucesión de valores para xque se
aproxime a 0.Utilice su calculadora para evaluar sen (1>x) en estas x.A menos que corra
con mucha suerte, sus valores oscilarán de manera desordenada.
Segunda, intente construir la gráfica de y=sen (1>x). Nadie hará esto muy bien,
pero la tabla de valores en la figura 8 da una buena pista acerca de lo que está suce-
diendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la gráfica oscila de arriba abajo
entre -1 y 1 un número infinito de veces (véase la figura 9). Claramente, sen (1>x)
no está cerca de un solo número L, cuando xestá cerca de cero. Concluimos que
no existe. ■
lím
x:0 sen11>x2
lím
x:0 sen11>x2.
lím
x:2Œxœ
1
2.
ŒxœŒxœŒxœ=2. Œxœ=1,
y=Œxœ
Œxœ
lím
x:2Œxœ.
lím
x:0 cx2-cos x
10,000 d=02-1
10,000 = - 1
10,000
lím
x:0 cx2-cos x
10,000 d.
Límites laterales Cuando una función da un salto (como lo hace en cada ente-
ro en el ejemplo 5),entonces el límite no existe en los puntos de salto. Para tales funciones,
se introduce el concepto de límites laterales. El símbolo xSc+significa que xse apro-
xima a cpor la derecha, y xSc-significa que xse aproxima a cpor la izquierda.
Œxœ
Definición Límites por la derecha y por la izquierda
Decir que significa que cuando xestá cerca pero a la derecha de c,
entonces f(x) está cerca de L. De manera análoga, decir que significa
que cuando xestá cerca pero a la izquierda de c, entonces f(x) está cerca de L.
lím
x:c- f1x2=L
lím
x:c+ f1x2=L
Sección 1.1 Introducción a límites 59
Teorema A
si y sólo si y lím
x:c+ f1x2=L.lím
x:c- f1x2=Llím
x:c f1x2=L
–
4
–
3
–
2
–
1
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
l
í
x
→
–
3
(
x
)
=
2
l
í
x
(
x
)
=
4
l
í
–
)
=
3
l
í
)
no existe
.
l
í
x
→
–
f
(
)
no existe
.
l
x
(
x
)
= 2.
5
Figura 10
Por lo tanto, mientras que no existe, es correcto escribir (véase la gráfica en la
figura 7)
Creemos que usted encontrará muy razonable el siguiente teorema.
lím
x:2-Œxœ=1
y
lím
x:2+Œxœ=2
lím
x:2Œxœ
La figura 10 debe darle una comprensión adicional. Dos de los límites no existen,aunque
todos, excepto uno de los límites unilaterales, existen.
Revisión de conceptos
1. significa que f(x) está cerca de _____,cuando x
está suficientemente cerca (pero es diferente) de _____.
2. Sea f(x) =(x2-9)>(x-3) donde f(3) está indeterminada. Sin
embargo, _____.lím
x:3 f1x2=
lím
x:c f1x2=L3. significa que f(x) está cerca de _____ cuando x
se aproxima a c por la _____.
4. Si y entonces _____.lím
x:c+ f1x2=M,lím
x:c- f1x2=M
lím
x:c+ f1x2=L
Conjunto de problemas 1.1
En los problemas del 1 al 6 determine el límite que se indica.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
En los problemas del 7 al 18 determine el límite que se indica. En la
mayoría de los casos, es buena idea usar primero un poco de álge-
bra (véase el ejemplo 2).
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14. lím
t:7+
21t-723
t-7
lím
t:2
21t+421t-224
13t-622
lím
x:3
x2-9
x-3
lím
x:-t
x2-t2
x+t
lím
x:0
x4+2x3-x2
x2
lím
x:-1
x3-4x2+x+6
x+1
lím
t:-7
t2+4t-21
t+7
lím
x:2
x2-4
x-2
lím
t:-11t2-x22lím
t:-11t2-12
lím
x:-21x2+2t-12lím
x:-21x2+2x-12
lím
t:-111-2t2lím
x:31x-5215. 16.
17. 18.
En los problemas del 19 al 28 utilice una calculadora para encon-
trar el límite indicado. Utilice una calculadora gráfica para trazar la
función cerca del punto límite.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28. lím
u:p>2
2-2 sen u
3u
lím
x:p>4 1x-p>422
1tan x-122
lím
t:0
1-cot t
1>t
lím
x:p
1+sen1x-3p>22
x-p
lím
x:3
x-sen1x-32-3
x-3
lím
t:1
t2-1
sen1t-12
lím
x:0 11-cos x22
x2
lím
x:0 1x-sen x22
x2
lím
t:0
1-cos t
2t
lím
x:0
sen x
2x
GC
lím
h:0 1x+h22-x2
h
lím
h:0 12+h22-4
h
lím
u:1 13u+4212u-223
1u-122
lím
x:3
x4-18x2+81
1x-322
60 Capítulo 1 Límites
29. Para la función fque se grafica en la figura 11 determine el
límite que se indica o el valor de la función, o establezca que el límite
o el valor de la función no existe.
(a) (b) (c)
(d) (e) f(1) (f)
(g) (h) (i) lim
x:-1+ f1x2lím
x:1+ f1x2lím
x:1- f1x2lím
x:1 f1x2lím
x:-1 f1x2f1-12f1-32
lím
x:-3 f1x2
30. Siga las instrucciones del problema 29 para la función que se
grafica en la figura 12.
31. Para la función que se grafica en la figura 13 determine el lími-
te que se indica o el valor de la función, o bien, indique que no existe.
(a) (b) f(3) (c)
(d) (e) (f) lím
x:3+ f1x2lím
x:-3 f1x2lím
x:-3+ f1x2lím
x:-3- f1x2
f1-32
32. Para la función que se grafica en la figura 14 determine el lími-
te que se indica o el valor de la función, o indique que no existe.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f) f(1)
33. Bosqueje la gráfica de
Luego determine cada uno de los siguientes o establezca que no existen.
(a) (b)
(c) f(1) (d)
34. Bosqueje la gráfica de
Después determine cada uno de los siguientes o establezca que no
existen.
(a) (b) g(1)
(c) (d)
35. Bosqueje la gráfica de luego encuentre
cada uno de los siguientes o establezca que no existen.
(a) f(0) (b) lím
x:0 f1x2
f1x2=x-Œxœ;
lím
x:2+ g1x2lím
x:2 g1x2
lím
x:1 g1x2
g1x2=c-x+1
x-1
5-x2
si x61
si 1 6x62
si xÚ2
lím
x:1+ f1x2
lím
x:1 f1x2lím
x:0 f1x2
f1x2=c-x
x
1+x
si x60
si 0 …x61
si xÚ1
lím
x:1 f1x2
f1-12
lím
x:-1 f1x2lím
x:-1+ f1x2lím
x:-1- f1x2
(c) (d)
36. Siga las instrucciones del problema 35 para
37. Determine o establezca que no existe.
38. Evalúe Sugerencia: racionalice el
numerador multiplicando el numerador y el denominador por
39. Sea
Determine cada valor, si es posible.
(a) (b)
40. Bosqueje, como mejor pueda, la gráfica de una función fque
satisfaga todas las condiciones siguientes.
(a) Su dominio es el intervalo [0, 4].
(b)
(c) (d)
(e) (f)
41. Sea
¿Para qué valores de aexiste ?
42. La función ha sido cuidadosamente graficada,
pero durante la noche un visitante misterioso cambió los valores de f
en un millón de lugares diferentes. ¿Esto afecta al valor de en
alguna a? Explique.
43. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca
que no existen.
(a) (b)
(c) (d)
44. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca
que no existen.
(a) (b)
(c) (d)
45. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca
que no existen.
(a) (b)
(c) (d)
46. Determine cada uno de los siguientes límites o establezca
que no existen.
(a) (b)
(c) (d)
Muchos paquetes de software tienen programas para calcular lí-
mites, aunque usted debe ser cuidadoso porque no son infalibles. Para
adquirir confianza en su programa, utilícelo para volver a calcular al-
gunos límites en los problemas del 1 al 28. Después para cada uno de
los siguientes determine el límite o establezca que no existe.
47. 48.
49. 50. lím
x:0ƒxƒx
lím
x:0 2ƒxƒ
lím
x:0+ xx
lim
x:0 1x
CAS
lím
x:1.8Œxœ>xlím
x:1.8Œxœ
lím
x:0+Œxœ>xlím
x:3Œxœ>x
lím
x:3+1Œxœ+Œ-xœ2lím
x:3-1Œxœ+Œ-xœ2
lím
x:0+ x2Œ1>xœlím
x:0+ xŒ1>xœ
lím
x:0+Œxœ1-12Œ1>xœ
lím
x:0+ x1-12Œ1>xœ
lím
x:0+Œ1>xœlím
x:1+ 2x-Œxœ
lím
x:1- c1
x-1-1
ƒx-1ƒdlím
x:1-
x2-ƒx-1ƒ-1
ƒx-1ƒ
lím
x:1-
ƒx-1ƒ
x-1
lím
x:1
ƒx-1ƒ
x-1
lím
x:a f1x2
f1x2=x2
lím
x:a f1x2
f1x2=ex2si x es racional
x4si x es irracional
lím
x:3+ f1x2=1lím
x:3- f1x2=2
lím
x:2 f1x2=1lím
x:1 f1x2=2
f102=f112=f122=f132=f142=1
lím
x:0 f1x2lím
x:1 f1x2
f1x2=exsi x es racional
-xsi x es irracional
2x+2+22.
lím
x:0
A
2x+2-22
B
>x.
lím
x:11x2-12>ƒx-1ƒ
f1x2=x>ƒxƒ.
lím
x:1>2 f1x2
lím
x:0- f1x2
–
3
–
2
–
–
1
1
2
1
2
3
y
x
–
4
–
3
–
2
–
1
1
2
1
2
3
y
x
Figura 11 Figura 12
–
4
–
3
–
2
–
1
1
2
4
1
–
1
–
2
–
–
4
2
3
y
x
4
4
–
4
–
3
–
2
–
1
1
2
3
4
5
1
–
1
–
2
y
x
Figura 13 Figura 14
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 61
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58. lim
x:1+
2
1+21>1x-12
lim
x:2-
x2-x-2
ƒx-2ƒ
lím
x:0
x sen 2x
sen1x22
lím
x:1
x3-1
22x+2-2
lím
x:0 x cos11>x2lím
x:0 cos11>x2
lím
x:01sen 5x2>3xlím
x:01sen 2x2>4x59. Como los paquetes de software para cálculo encuentran
por medio de un muestreo de algunos valores de f(x) para x
cerca de a, pueden estar equivocados. Determine una función fpara
la que no exista, pero por la que su software obtenga un
valor para el límite.
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. L;c2. 6
3. L; derecha 4. lím
x:c f1x2=M
lím
x:0 f1x2
lím
x:a f1x2
CAS
Si ahora preguntamos qué tan cerca debe estar xde 2 para garantizar que f(x) esté
a menos de 0.01 de 12, la solución seguiría las mismas líneas y determinaríamos que x
tendría que estar en un intervalo más pequeño al que se obtuvo anteriormente. Si que-
remos que f(x) esté a menos de 0.001 de 12, necesitaríamos un intervalo que fuese aún
más angosto. En este ejemplo, parece plausible que no importa cuán cercano queramos
que f(x) esté de 12, podemos realizar esto tomando xsuficientemente cercana a 2.
Ahora precisamos la definición de límite.
Precisando la definición Seguimos la tradición al utilizar las letras griegas e
(épsilon) y d(delta) para representar números positivos arbitrarios (por lo regular
pequeños).
Decir que f(x) difiere de Len menos que e, significa que
o de forma equivalente, Esto significa que f(x) se encuentra en el in-
tervalo abierto , como se muestra en la gráfica de la figura 2.1L-e, L+e2
ƒf1x2-Lƒ6e.
L-e6f1x26L+e,
En la sección anterior dimos una definición informal de límite. A continuación damos
otra ligeramente mejor, pero todavía informal, reformulando esa definición. Decir que
significa que f(x) puede hacerse tan cercana como se desee a Lsiempre
que xsea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto.
■EJEMPLO 1 Utilice la gráfica de y=f(x) =3x2para determinar qué tan cercana
debe estar xde 2 para garantizar que f(x) esté a no menos de 0.05 de 12.
SOLUCIÓN Para que f(x) esté a menos de 0.05 de 12,debemos tener 11.95 6f(x) 6
12.05.
En la figura 1 se dibujaron las rectas y=11.95 y y=12.05. Si despejamos xde y=3x2,
obtenemos Por lo tanto, y
La figura 1 indica que si entonces f(x) satisface 11.95
6f(x) 612.05. Este intervalo para xes aproximadamente 1.99583 6x62.00416. De los
dos extremos de este intervalo, el más cercano a 2 es el superior, 2.00416, y se encuen-
tra a 0.00416 de 2. Por lo tanto, si xestá a menos de 0.00416 de 2, entonces f(x) está a
menos de 0.05 de 12. ■
211.95>36x6212.05>3
f
A
212.05>3
B
=12.05.f
A
211.95>3
B
=11.95x=2y>3.
lím
x:c f1x2=L
1.2
Estudio riguroso
(formal) de límites
Considere dos puntos ay ben la
recta numérica. ¿Cuál es la distancia
entre ellos? Si a6b, entonces b-a
es la distancia; pero si b6a, entonces
la distancia es a-b. Podemos combi-
nar estos enunciados en uno y decir
que la distancia es |b-a|. Esta inter-
pretación geométrica del valor abso-
luto de una diferencia, como la
distancia entre dos puntos en una
recta numérica, es importante en la
comprensión de nuestra definición
del límite.
El valor absoluto como distancia
–
2
–
1
1
2
3
y
x
30
2
5
2
0
1
5
1
0
5
y = 3x2
1.
6
1.
8
2
2
.4
2
.2
y
x
14
1
3
12
11
1
0
y
=
3
x
2
y
= 12.
05
y
= 11.9
5
1.
98
1
.
99
2
2.
03
2.
02
2.
01
y
x
12.1
5
12
.1
12.
05
12
11.
95
11.
85
11.
9
y
=
3
x
2
y
= 12.
05
y
= 11.
95
11.
95
3
12.
05
3
Figura 1
62 Capítulo 1 Límites
Las gráficas de la figura 4 pueden ayudarle a comprender esta definición.
Debemos recalcar que el número real ese debe dar primero; el número ddebe
producirse y por lo regular depende de e. Supóngase que David desea demostrar a
Emilia que Emilia puede retar a David con cualquier eparticular quelím
x:c f1x2=L.
ella elija (por ejemplo, e=0.01) y pedir a David que obtenga una dcorrespondiente.
Apliquemos el razonamiento de David al límite Por inspección, David
conjeturaría que el límite es 7. Ahora, ¿podrá David determinar una dtal que
siempre que Un poco de álgebra mues-
tra que
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es ¡sí! David puede elegir (o cual-
quier valor más pequeño) y esto garantizará que siempre que
En otras palabras, David puede hacer que 2x+ 1 esté a menos
de 0.01 de 7, siempre que xesté a menos de 0.01>2 de 3.
06ƒx-3ƒ60.01>2.
ƒ12x+12-7ƒ60.01
d=0.01>2
3ƒx-3ƒ60.01
2
ƒ12x+12-7ƒ60.01 3 2 ƒx-3ƒ60.01
06ƒx-3ƒ6d?
ƒ12x+12-7ƒ60.01
lím
x:312x+12.
f
(
x
)
x
L +
L
–
L
)
f
(
x
–
L
–
)
<
)
)
)
)
)
)
Figura 2
f
(
x
)
x
δ
c
–
c
δ
c
+
0
<
)
x
–
c
–
)
<
δ
)
)
)
)
)
)
Figura 3
f
(
x
)
x
f
(
x
)
x
c
L
c
δ
δ
f
(
x
)
x
L
δ
c
–
c
δ
c
+
f
(
x
)
x
L +
c
L
–
L
P
ara
c
a
da
>
0
existe una > 0 tal que
0
<
)
x
–
c
–
)
<
δ
)
f
(
)
–
)
<
L
Figura 4
Ahora, decir que xestá suficientemente cerca pero diferente de ces decir que, para
alguna d,xpertenece al intervalo abierto (c-d,c+ d), con celiminado de éste. Tal vez
la mejor forma de decir esto es escribir
Obsérvese que describiría al intervalo mientras que
requiere que se excluya x=c. El intervalo que estamos describiendo se
muestra en la figura 3.
Ahora estamos preparados para lo que algunas personas han denominado la defi-
nición más importante del cálculo.
06ƒx-cƒ
c-d6x6c+d,
ƒx-cƒ6d
06ƒx-cƒ6d
Definición Significado preciso de límite
Decir que significa que para cada e> 0 dada (no importa qué tan
pequeña) existe una correspondiente d> 0, tal que siempre que
esto es,
06ƒx-cƒ6d Q ƒf1x2-Lƒ6e
06ƒx-cƒ6d;
ƒf1x2-Lƒ6e,
lím
x:c f1x2=L
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 63
Ahora, supóngase que Emilia reta a David de nueva cuenta, pero esta vez ella
quiere que ¿Podrá encontrar David una dpara este valor
de e? Siguiendo el razonamiento usado anteriormente,
Por lo tanto, siempre que
Esta clase de razonamiento, aunque podría convencer un poco, no es una prueba
de que el límite sea 7. La definición dice que debe ser capaz de encontrar una dpara to-
da e70 (no para alguna e). Emilia podría retar continuamente a David, pero ambos
nunca demostrarían que el límite es 7. David debe ser capaz de obtener una dpara
toda epositiva (sin importar qué tan pequeña sea).
David opta por tomar las cosas en sus manos y propone que esea cualquier núme-
ro real positivo. Entonces sigue el mismo razonamiento como antes, pero esta vez utiliza
een lugar de 0.000002.
David puede elegir y se deduce que siempre que
En otras palabras, puede hacer que 2x+ 1 esté a menos de ede 7 siem-
pre que xesté a menos de de 3.Ahora David tiene los requerimientos de la definición
de límite y por lo tanto ha verificado que el límite es 7, como lo sospechaba.
Algunas demostraciones de límites En cada uno de los siguientes ejemplos
empezamos con lo que denominamos un análisis preliminar. Lo incluimos para que
nuestra elección de d, en cada prueba, no parezca sugerir una increíble perspicacia de
nuestra parte. Muestra la clase de trabajo que usted necesita hacer en borrador para
determinar la ruta correcta a lo largo de la prueba. Una vez que usted sienta que com-
prende un ejemplo, véalo otra vez, pero oculte el análisis preliminar y note qué elegante,
aunque misteriosa, parece ser la prueba.
■EJEMPLO 2 Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Sea ecualquier número positivo. Debemos producir una d70 tal
que
Considere la desigualdad de la derecha
Ahora vemos cómo elegir d; esto es, Por supuesto, cualquier dmás pequeña
funcionaría.
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e70 dada. Seleccione Entonces
implica que
Si usted lee esta cadena de igualdades y una desigualdad, de izquierda a derecha, y uti-
liza las propiedades transitivas de =y 6, usted ve que
Ahora David conoce una regla para elegir el valor de ddada en el reto de Emilia.
Si Emilia hubiera retado a David con e=0.01, entonces David respondería con
Si Emilia dijese e=0.000003, entonces David diría d=0.000001. Si él diese
un valor más pequeño para d, también estaría bien.
d=0.01>3.
ƒ13x-72-5ƒ6e
3ƒx-4ƒ63d=e
ƒ13x-72-5ƒ=ƒ3x-12 ƒ=ƒ31x-42ƒ=
06ƒx-4ƒ6d
d=e>3.
d=e>3.
ƒ13x-72-5ƒ6e 3 ƒ3x-12 ƒ6e
3 ƒ31x-42ƒ6e
3 ƒ3ƒ ƒ 1x-42ƒ6e
3 ƒx-4ƒ6e
3
06ƒx-4ƒ6d Qƒ 13x-72-5ƒ6e
lím
x:413x-72=5.
e>2
ƒx-3ƒ6e>2.
ƒ12x+12-7ƒ6ed =e>2
3ƒx-3ƒ6e
2
ƒ12x+12-7ƒ6e 3 2 ƒx-3ƒ6e
ƒx-3ƒ60.000002>2.
ƒ12x+12-7ƒ60.000002
3 ƒx-3ƒ60.000002
2
ƒ12x+12-7ƒ60.000002 3 2 ƒx-3ƒ60.000002
ƒ12x+12-7ƒ60.000002.
Una pregunta natural es: “¿una fun-
ción puede tener dos límites distin-
tos en c?”. La respuesta intuitiva
obvia es no. Si una función se
aproxima cada vez más a L, cuando
x:c, no puede acercarse también
cada vez más a un número diferente
M. En el problema 23 se le pide que
demuestre esto de manera rigurosa.
¿Dos límites distintos?
64 Capítulo 1 Límites
Por supuesto, si considera la gráfica de y=3x-7 (una recta con pendiente 3, como
en la figura 5), sabe que para forzar a que 3x-7 esté cerca de 5 tendría que hacer a x
aún más próximo a 4 (más cercano por un factor de un tercio). ■
Mire la figura 6 y convénzase de que d=2esería una elección apropiada para den
la demostración de que
■EJEMPLO 3 Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Estamos buscando una dtal que
Ahora, para
Esto indica que funcionará (véase la figura 7)
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e70 dada. Elegimos Entonces 6d
implica que
La cancelación del factor es válida porque implica que y
siempre que ■
■EJEMPLO 4 Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Queremos encontrar una dtal que
Ahora
Parece que funciona, con tal que (Observe que mpodría ser positi-
va o negativa, así que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Del capítulo 0
recuerde que ).
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e70 dada. Elegimos Entonces
implica que
Y en caso de que m=0, cualquier dfuncionará bien ya que
Esto último es menor que epara toda x.■
■EJEMPLO 5 Demuestre que si c70 entonces
ANÁLISIS PRELIMINAR Con respecto a la figura 8, debemos determinar una dtal que
06ƒx-cƒ6d Q ƒ1x-1cƒ6e
lím
x:c
1x=1c.
ƒ10x+b2-10c+b2ƒ=ƒ0ƒ=0
ƒ1mx +b2-1mc +b2ƒ=ƒmx -mc ƒ=ƒmƒ ƒ x-cƒ6ƒmƒd=e
06ƒx-cƒ6d
d=e>ƒmƒ.
ƒab ƒ=ƒaƒ ƒ bƒ
mZ0.d=e>ƒmƒ
ƒ1mx +b2-1mc +b2ƒ=ƒmx -mc ƒ=ƒm1x-c2ƒ=ƒmƒ ƒ x-cƒ
06ƒx-cƒ6d Q ƒ1mx +b2-1mc +b2ƒ6e
lím
x:c1mx +b2=mc +b.
xZ2.
x-2
x-2=1
xZ2,0 6ƒx-2ƒ
x-2
=ƒ21x-22ƒ=2ƒx-2ƒ62d=e
`
2x2-3x-2
x-2-5
`
=
`
12x+121x-22
x-2-5
`
=ƒ2x+1-5ƒ
06ƒx-2ƒ
d=e>2.
d=e>2
3 ƒ12x+12-5ƒ 6e
3 ƒ21x-22ƒ6e
3 ƒ2ƒ ƒ x-2ƒ6e
3 ƒx-2ƒ6e
2
`
2x2-3x-2
x-2-5
`
6e 3
`
12x+121x-22
x-2-5
`
6e
xZ2,
06ƒx-2ƒ6d Q
`
2x2-3x-2
x-2-5
`
6e
lím
x:2
2x2-3x-2
x-2=5.
lím
x:4
A
1
2 x+3
B
=5.
1
2
3
4
5
–
3
–
2
–
1
1
2
3
y
x
x
–
7
–
)
=
5
y
=
3
x
–
7
–
/
3
/
3
5
Figura 5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
y
x
l
í
x
→
+ 3) = 5
1
2
x
+ 3
x
y
=
5
Figura 6
1
2
3
4
1
2
3
y
x
l
í
x
→
2
y
=
2
x
2
–
2
–
2
x
2
x – 2
=
5
δ
δ
Figura 7
x
f
(
f
f
x
)
x
→
c
c
δ
δ
c
=
f
(
f
f
x
)
=
x
Figura 8
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 65
Ahora
Para hacer lo último menor que ese requiere que tengamos
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e70 dada. Elegimos a Entonces
implica que
Aquí hay un punto técnico. Empezamos con pero podría suceder que cesté
muy cercano a 0 sobre el eje x. Deberíamos insistir en que para que entonces
implique que , de modo que esté definida. Así, para un rigor
absoluto, elegimos dcomo el más pequeño entre cy ■
Nuestra demostración en el ejemplo 5 depende de la racionalización del numera-
dor, un truco que con frecuencia es útil en cálculo.
■EJEMPLO 6 Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Nuestra tarea es encontrar una dtal que
Ahora
El factor puede hacerse tan pequeño como queramos y sabemos que
estará alrededor de 7. Por lo tanto, buscamos una cota superior para . Para hacer
esto, primero convenimos en hacer Entonces implica que
(desigualdad del triángulo)
(La figura 9 ofrece una demostración alternativa de este hecho). Si también requeri-
mos que entonces el producto será menor que e.
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e70 dada. Elegimos a esto es, elegimos
a dcomo el más pequeño entre 1 y Entonces implica que
■
■EJEMPLO 7 Demuestre que
DEMOSTRACIÓN Reproducimos la demostración en el ejemplo 6. Sea dada.
Elegimos como Entonces implica que
(Desigualdad del triángulo)
■
Aunque parezca increíblemente perspicaz, en el ejemplo 7 no sacamos a d“de la
manga”. Simplemente, esta vez no le mostramos el análisis preliminar.
6(1 +2ƒcƒ)ƒx-cƒ 611+2ƒcƒ2#e
1+2ƒcƒ=e
…1ƒx-cƒ+2ƒcƒ2ƒx-cƒ
ƒx2-c2ƒ=ƒx+cƒ ƒ x-cƒ=ƒx-c+2cƒ ƒ x-cƒ
06ƒx-cƒ6dd =mín51, e>11+2ƒcƒ26.
e70
lím
x:c x2=c2.
ƒ1x2+x-52-7ƒ=ƒx2+x-12 ƒ=ƒx+4ƒ ƒ x-3ƒ68#e
8=e
06ƒx-3ƒ6de>8.
d=mín51, e>86;
ƒx+4ƒ ƒ x-3ƒ
d…e>8,
61+7=8
…ƒx-3ƒ+ƒ7ƒ
ƒx+4ƒ=ƒx-3+7ƒ
ƒx-3ƒ6dd …1.
ƒx+4ƒ
ƒx+4ƒƒ x-3ƒ
ƒ1x2+x-52-7ƒ=ƒx2+x-12 ƒ=ƒx+4ƒ ƒ x-3ƒ
06ƒx-3ƒ6d Q ƒ1x2+x-52-7ƒ6e
lím
x:31x2+x-52=7.
e1c.
1x
x70
ƒx-cƒ6d
d…c,
c70,
=ƒx-cƒ
1x+1c…ƒx-cƒ
1c6d
1c=e
ƒ1x-1cƒ=
`
A
1x-1c
BA
1x+1c
B
1x+1c
`
=
`
x-c
1x+1c
`
06ƒx-cƒ6d
d=e1c.
ƒx-cƒ6e1c.
=ƒx-cƒ
1x+1c…ƒx-cƒ
1c
ƒ1x-1cƒ=
`
A
1x-1c
BA
1x+1c
B
1x+1c
`
=
`
x-c
1x+1c
`
)
x
3
)
1
⇒
2
<
x
<
4
⇒
6
<
x
+
4
<
8
⇒
+ 4
)
<
8
Figura 9
66 Capítulo 1 Límites
■EJEMPLO 8 Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Estudie la figura 10. Debemos determinar una dtal que
Ahora
El factor es problemático, en especial si xestá cerca de cero. Podemos acotar este
factor si podemos mantener a xalejado de 0. Con ese fin, observe que
de modo que
Por lo tanto, si elegimos tenemos éxito en hacer Por último, si
también pedimos que entonces
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea dada. Elegimos Entonces
implica que
■
Límites unilaterales No se necesita mucha imaginación para dar las definiciones
del límite por la derecha y del límite por la izquierda.e–d
`
1
x-1
c
`
=
`
c-x
xc
`
=1
ƒxƒ#1
ƒcƒ#ƒx-cƒ61
ƒcƒ>2
#1
ƒcƒ#ec2
2=e
06ƒx-cƒ6d
d=mín5ƒcƒ>2, ec2>26.e70
1
ƒxƒ#1
ƒcƒ#ƒx-cƒ61
ƒcƒ>2
#1
ƒcƒ#ec2
2=e
d…ec2>2,
ƒxƒÚƒcƒ>2.d…ƒcƒ>2,
ƒxƒÚƒcƒ-ƒx-cƒ
ƒcƒ=ƒc-x+xƒ…ƒc-xƒ+ƒxƒ
1>ƒxƒ
`
1
x-1
c
`
=
`
c-x
xc
`
=1
ƒxƒ#1
ƒcƒ#ƒx-cƒ
06ƒx-cƒ6dQ
`
1
x-1
c
`
6e
lím
x:c
1
x=1
c, cZ0.
Al lector le dejamos la definición para el límite por la izquierda. (Véase el pro-
blema 5).
El concepto presentado en esta sección es probablemente el tema más in-
trincado y elusivo en un curso de cálculo. Le podría tomar algún tiempo entender este
concepto, pero vale la pena. El cálculo es el estudio de límites, de modo que una cla-
ra comprensión del concepto de límite es una meta valiosa.
Por lo regular, el descubrimiento del cálculo se atribuye a Isaac Newton (1642-1727)
y a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), quienes trabajaron de manera inde-
pendiente a finales de 1600. Aunque Newton y Leibniz, junto con sus sucesores, descu-
brieron muchas propiedades del cálculo y se encontró que tiene muchas aplicaciones
en las ciencias físicas, no fue sino hasta el siglo XIX que se propuso una definición pre-
cisa de un límite. Augustin Louis Cauchy (1789-1857), un ingeniero y matemático fran-
cés, dio esta definición: “Si los valores sucesivos atribuidos a la misma variable que se
aproxima indefinidamente a un valor fijo, tal que ellos finalmente difieren de él por tan
poco como uno quiera, este último es llamado el límite de todos los demás.” Incluso
Cauchy, un maestro del rigor, fue un poco vago en su definición de límite. ¿Qué signifi-
ca “valores sucesivos”? ¿Qué significa “finalmente difieren”? La frase “finalmente di-
fieren de él por tan poco como uno quiera” contiene la semilla de la definición ,e–d
e–d
e–d
f
(
f
f
x
)
x
f
(
x
1
l
x
c
1
=
1
c
δ
δ
Figura 10
Definición Límite por la derecha
Decir que significa que para cada existe una correspondiente
d70, tal que
06x-c6d Q ƒf1x2-Lƒ6e
e70lím
x:c+ f1x2=L
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 67
pues indica que la diferencia entre f(x) y su límite Lpuede hacerse más pequeña que
cualquier número dado, el número que fue etiquetado como e. El matemático alemán
Karl Weierstrass (1815–1897) fue el primero en reunir la definición que es equivalente
a nuestra definición de límite.e–d
Revisión de conceptos
1. La desigualdad es equivalente a
_____ _____.
2. El significado preciso de es éste: dado cual-
quier número positivo eexiste un correspondiente número positivo
d, tal que ______ implica ______.
lím
x:a f1x2=L
6f1x26
ƒf1x2-Lƒ6e3. Para asegurar que ƒ3x-3ƒ 6 e, requeriríamos que ƒx-1ƒ 6
_____.
4. _____.lím
x:a1mx +b2=
Conjunto de problemas 1.2
En los problemas del 1 al 6 dé la definición apropiada para cada
proposición.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
En los problemas del 7 al 10 trace la función f (x)en el intervalo
Haga un acercamiento a la gráfica de cada función para de-
terminar qué tan cercano debe estar xde 2 para que f (x)esté a menos
de 0.002 de 4. Su respuesta debe ser de la forma “si xestá a menos de
_____ de 2, entonces f (x)está a menos de 0.002 de 4”.
7. 8.
9. 10.
En los problemas del 11 al 22 proporcione una prueba para cada
límite dado.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
18.
19.
20. 21.
22.
23. Demuestre que si y , entonces
.
24. Sean Fy Gfunciones tales que para to-
da xcercana a c, excepto posiblemente en c. Demuestre que si
entonces
25. Demuestre que Sugerencia: utilice
los problemas 22 y 24.
26. Demuestre que lím
x:0+ 1x=0.
lím
x:0 x4 sen211>x2=0.
lím
x:c F1x2=0.lím
x:c G1x2=0,
0…F1x2…G1x2
L=M.
lím
x:c f1x2=Mlím
x:c f1x2=L
lím
x:0 x4=0
lím
x:-11x2-2x-12=2lím
x:112x2+12=3
lím
x:1
10x3-26x2+22x-6
1x-122=4
lím
x:1
14x2-20x+6
x-1=8
lím
x:4
22x-1
2x-3
=27
lím
x:1
22x=22lím
x:5
2x2-11x+5
x-5=9
lím
x:0
a2x2-x
xb= -1lím
x:5
x2-25
x-5=10
lím
x:-2113x-12= -64lím
x:012x-12= -1
e–d
f1x2=8
x
f1x2=28x
f1x2=x2
f1x2=2x
[1.5, 2.5].
lím
t:a+ g1t2=Dlím
x:c- f1x2=L
lím
y:e f1y2=Blím
z:d h1z2=P
lím
u:b g1u2=Llím
t:a f1t2=M
e–d27. Considerando los límites por la derecha y por la izquierda,
demuestre que
28. Demuestre que si para y
entonces
29. Suponga que y que f(a) existe (aunque podría
ser diferente de L). Demuestre que festá acotada en algún intervalo
que contiene a a; esto es, demuestre que existen un intervalo (c,d)
con y una constante M, tal que para toda x
en (c,d).
30. Demuestre que si para toda xen algún inter-
valo alrededor de a, al cual se le quite a, y si y
entonces
31. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la
definición de límite?
(a) Para algún e70 y toda d70, 0 6 ƒ x-cƒ 6 dQƒf(x)-Lƒ6e.
(b) Para toda existe una correspondiente tal que
(c) Para todo entero positivo Nexiste un entero correspondiente
positivo M, tal que
(d) Para toda existe una correspondiente tal que
y para alguna x.
32. En lenguaje qué significa decir
33. Suponga que deseamos dar una demostración con de que
Empezamos por escribir en la forma
(a) Determine g(x).
(b) ¿Podríamos elegir para alguna n? Explique.
(c) Si elegimos ¿cuál es el entero más pequeño
mque podríamos utilizar?
Respuestas a la revisión de conceptos 1.
2. 3. 4. ma +be>30 6ƒx-aƒ6d; ƒf1x2-Lƒ6e
L-e; L+e
d=mín
A
1
4, e>m
B
,
d=mín11, e>n2
1x-32g1x2.
x+6
x4-4x3+x2+x+6+1
lím
x:3
x+6
x4-4x3+x2+x+6= -1
e–d
GC
lím
x:c f1x2ZL.e–d
ƒf1x2-Lƒ6e06ƒx-cƒ6d
d70e70,
06ƒx-cƒ61>MQƒf1x2-Lƒ61/N.
06ƒx-cƒ6eQƒf1x2-Lƒ6d
e70d70,
L…M.lím
x:a g1x2=M,
lím
x:a f1x2=L
f1x2…g1x2
ƒf1x2ƒ…Mc 6a6d
lím
x:a f1x2=L
lím
x:a f1x2g1x2=0.lím
x:a g1x2=0
ƒx-aƒ61
ƒf1x2ƒ6B
lím
x:0ƒxƒ=0.
68 Capítulo 1 Límites
Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Por
ejemplo, la afirmación 4 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites.
Por supuesto, el teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta el fi-
nal de la sección, pues preferimos mostrar primero cómo se utiliza este teorema con
varias partes.
Aplicaciones del teorema principal de los límites En los ejemplos si-
guientes, los números dentro de un círculo se refieren al número de la afirmación del
teorema A. Cada igualdad está justificada por la afirmación indicada.
■EJEMPLO 1 Determine lím
x:3 2x4.
La mayoría de los lectores coincidirá en que demostrar la existencia y obtener los valo-
res de los límites mediante la definición de la sección anterior consume tiempo y
es difícil. Por esto son bienvenidos los teoremas de esta sección. Nuestro primer teore-
ma es el principal. Con él podemos manejar la mayoría de los problemas de límites con
los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.
e–d
1.3
Teoremas de límites
Teorema A Teorema principal de los límites
Sean nun entero positivo, kuna constante y fy gfunciones que tengan límites en c.
Entonces
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. siempre que
8.
9. siempre que cuando n
sea par.
lím
x:c f1x270lím
x:c
2
nf1x2=2
nlím
x:c f1x2,
lím
x:c [ f1x2]n=
C
lím
x:c f1x2
D
n;
lím
x:c g1x2Z0;
lím
x:c
f1x2
g1x2=
lím
x:c f1x2
lím
x:c g1x2,
lím
x:c [ f1x2#g1x2]=lím
x:c f1x2#lím
x:c g1x2;
lím
x:c [ f1x2-g1x2]=lím
x:c f1x2-lím
x:c g1x2;
lím
x:c [ f1x2+g1x2]=lím
x:c f1x2+lím
x:c g1x2;
lím
x:c kf1x2=k lím
x:c f1x2;
lím
x:c x=c;
lím
x:c k=k;
lím 2
x
4
x
4
= 2
lím
x
= 2[3]
4
= 1
62
[
x
3
x
3
x
3
]
x
4
3
8
2
Aunque el teorema A se establece
en términos de límites por los dos
lados, sigue cumpliéndose tanto
para límites por la izquierda
como para límites por la derecha.
Límites laterales
x
4
x
4
5
3
lím
(3
x
2
–
2
x
) = lím 3
x
2
–
lím 2
x
= 3 lím
x
2
–
2 lím
x
x
4
x
4
x
4
x
4
8
2
–
2 lím
x
= 3(4)
2
–
2
(
4
)
x
4
(
= 4
0
2
■
■EJEMPLO 2 Encuentre
SOLUCIÓN
lím
x:413x2-2x2.
■
Sección 1.3 Teoremas de límites 69
■EJEMPLO 3 Determine
SOLUCIÓN
lím
x:4
2x2+9
x.
■
■EJEMPLO 4 Si y encuentre
SOLUCIÓN
lím
x:3
C
f21x2#23g1x2
D
lím
x:3 g1x2=8,lím
x:3 f1x2=4
Recuerde que una función polinomial ftiene la forma
mientras que una función racional fes el cociente de dos funciones polinomiales, esto es,
f1x2=anxn+an-1xn-1+Á+a1x+a0
bmxm+bm-1xm-1+Á+b1x+b0
f1x2=anxn+an-1xn-1+Á+a1x+a0
7
lím
x
4
x
2
+
9
x
=
x
2
+
9
lím
x
4
lím
x
x
4
=
(
x
2
+ 9
)
lím
x
4
4
=
4
1
lím
x
2
+ lím
9
x
4
x
4
4
=
4
1
x
4
8,1
,
9,2
,
x
[
]
x
2
+
9
=
4
1
4
2
+
9
=
4
5
2
l
í
m
[
f
2
(
x
)
x
3
6
g
(
x
)]
3
= l
í
m
f
2
(
x
)
x
3
g
(
x
)
3
3
l
í
m
x
3
=
x
3
8,9
,
l
í
m
f
(
x
)
[
]
2
g
(
x
)
l
í
m
x
3
8
3
2
=
[
4
]
=
32
Teorema B Teorema de sustitución
Si fes una función polinomial o una función racional, entonces
con tal que f(c) esté definida. En el caso de una función racional, esto significa que
el valor del denominador en cno sea cero.
lím
x:c f1x2=f1c2
La demostración del teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del
teorema A. Observe que el teorema B nos permite encontrar límites de funciones poli-
nomiales y racionales con la simple sustitución de cpor xen toda la expresión, siempre
y cuando el denominador de la función racional no sea cero en c.
■EJEMPLO 5 Encuentre lím
x:2
7x5-10x4-13x+6
3x2-6x-8.
Cuando aplicamos el teorema B,
teorema de sustitución, decimos que
evaluamos el límite por sustitución.
No todos los límites pueden evaluarse
por sustitución; considere
El teorema de sustitución no se apli-
ca aquí, ya que el denominador es
cero cuando x = 1, pero el límite sí
existe.
lim
x:1
x2-1
x-1.
Evaluación de un límite
por “sustitución”
■
70 Capítulo 1 Límites
SOLUCIÓN
■
■EJEMPLO 6 Determine
SOLUCIÓN No se aplican ni el teorema B ni la afirmación 7 del teorema A, ya que el
límite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, ve-
mos que cuando xse aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre
un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho,
el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a xsuficientemen-
te cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo —véase
la sección 1.5— nos permitiremos decir que el límite es +q). ■
En muchos casos no se puede aplicar el teorema B, ya que la sustitución de cpro-
voca que el denominador se haga igual a 0. En casos como éste, en ocasiones sucede
que la función se puede simplificar mediante la factorización. Por ejemplo, podemos
escribir
Debemos ser cuidadosos en este último paso. La fracción es igual a la
del lado izquierdo del signo de igualdad sólo si xno es igual a 2. Si el lado izquier-
do está indeterminado (ya que el denominador es 0), mientras que el lado derecho es
igual a Esto plantea la pregunta acerca de si los límites
son iguales. La respuesta se encuentra en el siguiente teorema.
lím
x:2
x2+3x-10
x2+x-6
y
lím
x:2
x+5
x+3
12+52>12+32=7>5.
x=2,
1x+52>1x+32
x2+3x-10
x2+x-6=1x-221x+52
1x-221x+32=x+5
x+3
lím
x:1
x3+3x+7
x2-2x+1=lím
x:1
x3+3x+7
1x-122.
lím
x:2
7x5-10x4-13x+6
3x2-6x-8=71225-101224-13122+6
31222-6122-8= - 11
2
Teorema C
Si para toda xen un intervalo abierto que contenga a c, excepto po-
siblemente en el mismo número c, y si existe entonces existe y
lím
x:c f1x2=lím
x:c g1x2.
lím
x:c f1x2lím
x:c g1x2
f1x2=g1x2
■EJEMPLO 7 Determine
SOLUCIÓN
■
■EJEMPLO 8 Determine
SOLUCIÓN No se aplica el teorema B porque el denominador es 0 cuando x=2. Al
sustituir x=2 en el numerador también obtenemos 0, por lo que el cociente toma una
forma carente de significado 0>0 en x=2. Cuando esto suceda deberemos buscar algu-
na simplificación algebraica, como la factorización.
lím
x:2
x2+3x-10
x2+x-6=lím
x:2 1x-221x+52
1x-221x+32=lím
x:2
x+5
x+3=7
5
lím
x:2
x2+3x-10
x2+x-6.
lím
x:1
x-1
1x-1=lím
x:1
A
1x-1
BA
1x+1
B
1x-1=lím
x:1
A
1x+1
B
=21+1=2
lím
x:1
x-1
1x-1.
Sección 1.3 Teoremas de límites 71
El paso de la segunda a la última igualdad se justifica por medio del teorema C, ya que
para toda x, salvo para x=2. Una vez que aplicamos el teorema C, podemos evaluar el
límite por medio de sustitución (es decir, mediante la aplicación del teorema B). ■
Demostración del teorema A (opcional) No debe sorprenderse demasiado
cuando le decimos que las demostraciones de algunas partes del teorema A son muy
complicadas. Como consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco
partes y dejamos las otras al apéndice (sección A.2, teorema A). Para que se dé cuen-
ta, podría intentar con los problemas 35 y 36.
Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de
(véase el ejemplo 4 de la sección 1.2) utilizando primero
m=0 y luego m=1, b=0. ■
Demostración de la afirmación 3 Si k=0,el resultado es trivial, así que supo-
nemos que kZ0. Sea e70 dada. Por hipótesis, existe; llamemos L a su valor.
Por definición de límite existe un número d, tal que
Es seguro que algunos reclamarían que pongamos e>|k| en lugar de eal final de la
desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso e>|k| no es un número positivo? Sí. ¿Acaso la de-
finición de límite no requiere que para cualquier número positivo exista una corres-
pondiente d? Sí.
Ahora, para una dasí determinada (nuevamente por medio de un análisis prelimi-
nar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que 0 6|x-c| 6dimplica que
Esto muestra que
■
Demostración de la afirmación 4 Respecto a la figura 1. Sea y
Si ees cualquier número positivo, entonces e>2 es positivo. Como
existe un número positivo d1tal que
Como existe un número positivo d2, tal que
Elegimos esto es, elegimos dcomo la más pequeña de d1y d2. Enton-
ces 0 6|x-c| 6dimplica que
En esta cadena, la primera desigualdad es la desigualdad del triángulo (véase la sección
0.2); la segunda resulta de la elección de d.Acabamos de demostrar que
Por lo tanto,
■lím
x:c [f1x2+g1x2]=L+M=lím
x:c f1x2+lím
x:c g1x2
06ƒx-cƒ6d Q ƒf1x2+g1x2-1L+M2ƒ6e
6e
2+e
2=e
…ƒf1x2-Lƒ+ƒg1x2-Mƒ
ƒf1x2+g1x2-1L+M2ƒ=ƒ[f1x2-L]+[g1x2-M]ƒ
d=mín5d1, d26;
06ƒx-cƒ6d2 Q ƒg1x2-Mƒ6e
2
lím
x:c g1x2=M,
06ƒx-cƒ6d1 Q ƒf1x2-Lƒ6e
2
lím
x:c f1x2=L,
lím
x:c g1x2=M.
lím
x:c f1x2=L
lím
x:c kf1x2=kL =k lím
x:c f1x2
ƒkf1x2-kL ƒ=ƒkƒ ƒ f1x2-Lƒ6ƒkƒe
ƒkƒ=e
06ƒx-cƒ6d Q ƒf1x2-Lƒ6e
ƒkƒ
lím
x:c f1x2
=mc +b
lím
x:c1mx +b2
(x-2)(x+5)
(x-2)(x+3) =x+5
x+3
En un primer curso de cálculo, ¿cuán-
tos teoremas deben demostrarse?
Los profesores de matemáticas han
discutido largo y tendido en torno a
esto y acerca del balance correcto
entre:
■lógica e intuición
■demostración y explicación
■teoría y aplicación
Un gran científico de hace mucho
tiempo dio un sabio consejo.
“Quien ama la práctica sin teoría es
como el marinero que se embarca
sin timón ni brújula y nunca sabe a
dónde ir”.
Leonardo da Vinci
¿Opcional?
f
+
g
g
f
y
x
2
1
c
=
m
í
n (
1
,
2
)
L
!
!
/2
/2
M
!
!
/2
/2
L + M
!
!
Figura 1
72 Capítulo 1 Límites
Demostración de la afirmación 5
■
El teorema del emparedado Probablemente ha oído decir a alguien: “me en-
cuentro entre la espada y la pared”. Esto es lo que le sucede a gen el siguiente teorema
(véase la figura 2).
=lím
x:c f1x2-lím
x:c g1x2
=lím
x:c f1x2+1-12lím
x:c g1x2
=lím
x:c f1x2+lím
x:c1-12g1x2
lím
x:c [f1x2-g1x2]=lím
x:c [f1x2+1-12g1x2]
Demostración (Opcional) Sea e70 dada. Elegimos d1tal que
y d2tal que
Elegimos d3, de modo que
Sea Entonces
Concluimos que ■
■EJEMPLO 9 Suponga que hemos demostrado que 1 -x2>6 …(sen x)>x…1 para
toda xcercana pero distinta de cero. ¿Qué podemos concluir acerca de ?
SOLUCIÓN Sea f(x) =1 -x2>6, g(x) =(sen x)>x, y h(x) =1. Se sigue que
y de este modo, por el teorema D,
■lím
x:0
sen x
x=1
lím
x:0 f1x2=1=lím
x:0 h1x2
lím
x:0
sen x
x
lím
x:c g1x2=L.
06ƒx-cƒ6d Q L-e6f1x2…g1x2…h1x26L+e
d=mín5d1, d2, d36.
06ƒx-cƒ6d3 Q f1x2…g1x2…h1x2
06ƒx-cƒ6d2 Q L-e6h1x26L+e
06ƒx-cƒ6d1 Q L-e6f1x26L+e
y
x
L
c
f
h
g
Figura 2
Revisión de conceptos
Teorema D Teorema del emparedado
Sean f,gy hfunciones que satisfacen f(x) …g(x) …h(x) para toda xcercana a c, ex-
cepto posiblemente en c. Si entonces lím
x:c g1x2=L.lím
x:c f1x2=lím
x:c h1x2=L,
1. Si entonces _____.
2. Si entonces _____.
3. Si y entonces
_____ y _____.lím
x:c
C
g1x22f1x2+5x
D
=
lím
x:c
f21x2
g1x2=lím
x:c g1x2= -2,lím
x:c f1x2=4
lím
x:2 2g21x2+12 =lím
x:2 g1x2= - 2,
lím
x:31x2+32f1x2=lím
x:3 f1x2=4, 4. Si y entonces
_____.lím
x:c [ f1x2-L]g1x2=
lím
x:c g1x2=L,lím
x:c f1x2=L
Conjunto de problemas 1.3
En los problemas del 1 al 12 utilice el teorema A para encontrar cada
uno de los límites. Justifique cada paso apelando a cada una de las
afirmaciones numeradas, como en los ejemplos del 1 al 4.
1. 2. lím
x:-113x2-12lím
x:112x+12
3.
4.
5. 6. lím
x:-3 4x3+1
7-2x2
lím
x:2 2x+1
5-3x
lím
x:22 [12x2+1217x2+132]
lím
x:0 [12x+121x-32]
Sección 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 73
7. 8.
9. 10.
11.
12.
En los problemas del 13 al 24 encuentre el límite indicado o establezca
que no existe. En muchos casos, necesitará usar un poco de álgebra an-
tes de intentar evaluar el límite.
13. 14.
15. 16.
17.
18.
19. 20.
21. 22.
23.
24.
En los problemas del 25 al 30 encuentre los límites y
(véase el ejemplo 4).
25. 26.
27. 28.
29. 30.
En los problemas del 31 al 34 encuentre
para cada función f dada.
31. 32.
33. 34.
35. Demuestre la afirmación 6 del teorema A. Sugerencia:
…ƒg1x2ƒ ƒ f1x2-Lƒ+ƒLƒ ƒ g1x2-Mƒ
=ƒg1x2[f1x2-L]+L[g1x2-M]ƒ
ƒf1x2g1x2-LM ƒ=ƒf1x2g1x2-Lg1x2+Lg1x2-LM ƒ
f1x2=3
x2
f1x2=1
x
f1x2=3x2+2x+1f1x2=3x2
lím
x:2 [ f1x2-f122]>1x-22
lím
u:a
C
f1u2+3g1u2
D
3
lím
t:a
C
ƒf1t2ƒ+ƒ3g1t2ƒ
D
lím
x:a
C
f1x2-3
D
4
lím
x:a
23g1x2
C
f1x2+3
D
lím
x:a
2f1x2-3g1x2
f1x2+g1x2
lím
x:a
2f21x2+g21x2
lím
x:a g1x2= - 1
lím
x:a f1x2=3
lím
w:-2 1w+221w2-w-62
w2+4w+4
lím
x:p
2x2-6xp+4p2
x2-p2
lím
x:1 x2+ux -x-u
x2+2x-3
lím
u:-2 u2-ux +2u-2x
u2-u-6
lím
x:-3 x2-14x-51
x2-4x-21
lím
x:1 x2+x-2
x2-1
lím
x:2 x2+7x+10
x+2
lím
x:-1 x3-6x2+11x-6
x3+4x2-19x+14
lím
x:-1 x2+x
x2+1
lím
x:-1 x2-2x-3
x+1
lím
x:2 x2-5x+6
x-2
lím
x:2 x2-4
x2+4
lím
w:512w4-9w3+192-1>2
lím
y:2 a4y3+8y
y+4b1>3
lím
w:-2 2-3w3+7w2
lím
t:-212t3+15213
lím
x:-3 25x2+2x
lím
x:3 23x-5Ahora demuestre que si entonces existe un número
d1, tal que
36. Demuestre la afirmación 7 del teorema A; primero dé una
demostración e-dde que y luego apli-
que la afirmación 6.
37. Demuestre que
38. Demuestre que
39. Demuestre que
40. Encuentre ejemplos para demostrar que si
(a) existe, esto no implica que exista
o ;
(b) existe, esto no implica que exista o
.
En los problemas del 41 al 48 encuentre cada uno de los límites unila-
terales o establezca que no existen.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. Suponga que f(x)g(x) =1 para toda xy que
Demuestre que no existe.
50. Sea Rel rectángulo que une los puntos medios de los lados
del cuadrilátero Q, el cual tiene vértices (;x, 0) y (0, ;1). Calcule
51. Sea y considere los puntos M, N, O y Pcon coorde-
nadas (1, 0), (0, 1), (0, 0) y (x,y) en la gráfica de respectiva-
mente. Calcule:
(a) (b)
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 48 2. 4
3. 4. 0-4+5c-8;
lím
x:0+
área de ¢NOP
área de ¢MOP
lím
x:0+
perímetro de ¢NOP
perímetro de ¢MOP
y=1x,
y=1x
lím
x:0+
perímetro de R
perímetro de Q
lím
x:a f1x2lím
x:a g1x2=0.
lím
x:3+ Œx2+2xœlím
x:0-
x
ƒxƒ
lím
x:3-1x-Œxœ2lím
x:2+ 1x2+12Œxœ
13x-122
lím
x:1-
21+x
4+4x
lím
x:3+
x-3
2x2-9
lím
x:-p+
2p3+x3
x
lím
x:-3+
23+x
x
lím
x:c g1x2
lím
x:c f1x2lím
x:c
C
f1x2#g1x2
D
lím
x:c g1x2lím
x:c f1x2lím
x:c
C
f1x2+g1x2
D
lím
x:c
ƒxƒ=ƒcƒ.
lím
x:c f1x2=0 3 lím
x:c
ƒf1x2ƒ=0.
lím
x:c f1x2=L 3 lím
x:c [ f1x2-L]=0.
lím
x:c [1>g1x2]=1>
C
lím
x:c g1x2
D
06ƒx-cƒ6d1 Q ƒg1x2ƒ6ƒMƒ+1
lím
x:c g1x2=M,
El teorema B de la sección anterior dice que los límites de funciones polinomiales
siempre pueden encontrarse por sustitución y los límites de funciones racionales pue-
den encontrarse por sustitución, siempre y cuando el denominador no sea cero en el
punto límite. Esta regla de sustitución se aplica también a las funciones trigonométri-
cas. Este resultado se establece a continuación.
1.4
Límites que involucran
funciones trigonométricas
74 Capítulo 1 Límites
Demostración de la afirmación 1 Primero establecemos el caso especial en
el que c=0. Supóngase que t70 y que los puntos A,By Pestán definidos como en la
figura 1. Entonces
Pero | BP | =sen ty arco(AP) =t, de modo que
Si t60, entonces t6sen t60. Así que podemos aplicar el teorema del emparedado
(teorema 1.3D) y concluir que Para completar la demostración, también
necesitaremos el resultado de que Ésta se deduce aplicando una identidad
trigonométrica y el teorema 1.3A:
Ahora, para demostrar que primero hacemos h=t-cde modo
que h:0 cuando t:c. Entonces
■
Demostración de la afirmación 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con
el teorema 1.3A. Si cos c70, entonces para tcercano a c tenemos
Por lo tanto,
Por otra parte, si cos c60, entonces para tcercano a ctenemos
El caso c=0 se trabajó en la demostración de la afirmación 1. ■
Las demostraciones de las demás afirmaciones se dejan como ejercicios. (Véanse
los problemas 21 y 22). El teorema A puede utilizarse junto con el teorema 1.3A para
evaluar otros límites.
■EJEMPLO 1 Encuentre
SOLUCIÓN
■
Dos límites importantes que no pueden evaluarse por sustitución son
lím
t:0 sen t
t
y
lím
t:0 1-cos t
t
lím
t:0 t2 cos t
t+1=alím
t:0 t2
t+1b
A
lím
t:0 cos t
B
=0#1=0
lím
t:0 t2 cos t
t+1.
= - 2cos2 c= - ƒcos cƒ=cos c
lím
t:c cos t=lím
t:c
A
-21-sen2 t
B
= - 21-
A
lím
t:c sen t
B
2= - 21-sen2 c
cos t= - 21-sen2 t.
lím
t:c cos t=lím
t:c
21-sen2 t=21-
A
lím
t:c sen t
B
2=21-sen2 c=cos c
cos t=21-sen2 t.
=1sen c2112+1cos c2102=sen c
=1sen c2
A
lím
h:0 cos h
B
+1cos c2
A
lím
h:0 sen h
B
=lím
h:01sen c cos h+cos c sen h2
1Addition Identity2
lím
t:c sen t=lím
h:0 sen1c+h2
lím
t:c sen t=sen c,
lím
t:0 cos t=lím
t:0 21-sen2 t=21-
A
lím
t:0 sen t
B
2=21-02=1
lím
t:0 cos t=1.
lím
t:0 sen t=0.
06sen t6t
06ƒBP ƒ6ƒAP ƒ6arc1AP2
O
1
B
A
(1, 0
)
t
P
(cos
t
,
sen t)
(0, 1
)
y
x
Figura 1
Teorema A Límites de funciones trigonométricas
Para todo número real cen el dominio de la función,
1. 2.
3. 4.
5. 6. lím
t:c csc t=csc clím
t:c sec t=sec c
lím
t:c cot t=cot clím
t:c tan t=tan c
lím
t:c cos t=cos clím
t:c sen t=sen c
(Identidad de la suma de ángulos)
Sección 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 75
O
B
A
(
1, 0
)
t
P
(
cos
t
,
sen t)
(
0, 1
)
y
x
C
t
Figura 2
Teorema B Límites trigonométricos especiales
1. 2. lím
t:0 1-cos t
t=0lím
t:0 sen t
t=1
En la sección 1.1 encontramos el primero de estos límites, en donde conjeturamos que
el límite era 1.Ahora demostramos que en verdad 1 es el límite.
Demostración de la afirmación 1 En la demostración del teorema A de esta
sección mostramos que
Para -p>2 …t…p>2, tZ0 (recuerde, no importa qué suceda en t =0), dibuje el segmen-
to de recta vertical BP y el arco circular BC, como se muestra en la figura 2. (Si t60,
entonces considere la región sombreada reflejada con respecto al eje x.) De la figura 2
se hace evidente que
área(sector OBC) …área(¢OBP) …área(sector OAP)
El área de un triángulo es un medio del producto de su base por la altura, y el área de
un sector circular con ángulo central ty radio res (véase el problema 42 de la
sección 0.7).Al aplicar estos resultados a las tres regiones dadas
que, después de multiplicar por 2 y dividir entre el número positivo | t|cos t, se obtiene
Como la expresión (sen t)>tes positiva para -p>2 …t…p>2, tZ0, tenemos |sen t|>|t| =
(sen t)>t. Por lo tanto,
Como estamos buscando el límite de la función de en medio y conocemos el límite de
cada una de las funciones “exteriores”, esta doble desigualdad pide que apliquemos el
teorema del emparedado. Cuando lo aplicamos, obtenemos
■
Demostración de la afirmación 2 El segundo límite se deduce con facilidad a
partir del primero. Sólo multiplique el numerador y el denominador por (1 + cos t);
esto da
■
Haremos uso explícito de estos dos límites en el capítulo 2. En este momento po-
demos usarlos para evaluar otros límites.
■EJEMPLO 2 Encuentre cada límite,
(a) (b) (c) lím
x:0
sen 4x
tan x
lím
t:0 1-cos t
sen t
lím
x:0 sen 3x
x
=alím
t:0 sen t
tb
lím
t:0 sen t
lím
t:011+cos t2=1#0
2=0
=lím
t:0 sen2 t
t11+cos t2
lím
t:0 1-cos t
t=lím
t:0 1-cos t
t
#1+cos t
1+cos t=lím
t:0 1-cos2 t
t11+cos t2
lím
t:0 sen t
t=1
cos t…sen t
t…1
cos t
cos t…ƒsen tƒ
ƒtƒ…1
cos t
1
2 1cos t22ƒtƒ…1
2 cos t ƒsen tƒ…1
2 12ƒtƒ
1
2 r2ƒtƒ
lím
t:0 cos t=1
y
lím
t:0 sen t=0
76 Capítulo 1 Límites
y
x
1
0
.
5
–
0
.
5
–
1
–
1
1
–
0
.
5
0
.
5
y
=)
x
)
y
=
–
)
x
)
y
=
x
cos(1/
x
/
/
)
Figura 3
SOLUCIÓN
(a)
Aquí, el argumento de la función seno es 3x, no sólo x, como lo requiere el teorema B.
Sea y=3x. Entonces y:0 si y sólo si x:0, de modo que
Por lo tanto,
(b)
(c)
■
■EJEMPLO 3 Haga un bosquejo de las gráficas de u(x) =|x|, l(x) = -|x| y f(x) =
xcos(1>x). Utilice estas gráficas junto con el teorema del emparedado (teorema D de la
sección 1.3) para determinar
SOLUCIÓN Observe que cos(1>x) siempre está entre -1 y 1 y f(x) =xcos(1>x). Por lo
tanto, xcos(1>x) siempre estará entre -xy x, si xes positiva y entre xy -x, si xes nega-
tiva. En otras palabras, la gráfica de y=xcos(1>x) está entre las gráficas de y=|x|
y y= -|x|, como se muestra en la figura 3. Sabemos que
(véase el problema 27 de la sección 1.2) y como la gráfica de y=f(x) =xcos(1>x) está
“emparedada” entre las gráficas de u(x) =|x| y l(x) = -|x|, ambas tienden a cero
cuando x:0 y podemos aplicar el teorema del emparedado para concluir que
■lím
x:0 f1x2=0.
lím
x:0ƒxƒ=lím
x:01-ƒxƒ2=0
lím
x:0 f1x2.
=4
1#1=4 =
4lím
x:0 sen 4x
4x
alím
x:0 sen x
xbalím
x:0 1
cos xb
lím
x:0 sen 4x
tan x=lím
x:0
4 sen 4x
4x
sen x
x cos x
lím
t:0 1-cos t
sen t=lím
t:0
1-cos t
t
sen t
t
=
lím
t:0 1-cos t
t
lím
t:0 sen t
t
=0
1=0
lím
x:0 sen 3x
x=3lím
x:0 sen 3x
3x=3
lím
x:0 sen 3x
3x=lím
y:0 sen y
y=1
lím
x:0 sen 3x
x=lím
x:0 3
sen 3x
3x=3lím
x:0 sen 3x
3x
Revisión de conceptos
1. _____.
2. _____.
lím
t:p>4 tan t=
lím
t:0 sen t=3. El límite no puede evaluarse por sustitución
porque ________.
4. =_____.lím
t:0
sen t
t
lím
t:0
sen t
t
Sección 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 77
P
t
,
sen
t
)
B
O
A
A
(
1, 0
)
t
Q
y
x
P
(
co
s
t
,
sen
t
)
O
B
A
(
1, 0
)
t
y
x
Figura 4 Figura 5
–
2
–
1
1
2
3
1
y
x
g
(
x
)
=
x
1 +
x
2
Figura 1
Conjunto de problemas 1.4
En los problemas del 1 al 14 evalúe cada límite.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
En los problemas del 15 al 19 trace las funciones u(x), l(x) y f(x). Des-
pués utilice estas gráficas junto con el teorema del emparedado para
determinar
15.
16.
17.
18.
19.
20. Demuestre que utilizando un argumento si-
milar al que se empleó en la demostración de que
21. Demuestre las afirmaciones 3 y 4 del teorema A mediante el
teorema 1.3A.
lím
t:c sen t=sen c.
lím
t:c cos t=cos c
u1x2=2, l1x2=2-x2, f1x2=1+sen x
x
u1x2=1, l1x2=1-x2, f1x2=cos2 x
u1x2=ƒxƒ, l1x2= - ƒxƒ, f1x2=11-cos2 x2>x
u1x2=ƒxƒ, l1x2= - ƒxƒ, f1x2=x sen11>x22
u1x2=ƒxƒ, l1x2= - ƒxƒ, f1x2=x sen11>x2
lím
x:0 f1x2.
lím
u:0 sen2 u
u2
lím
t:0 sen 3t+4t
t sec t
lím
t:0 tan 2t
sen 2t-1
lím
t:0 tan2 3t
2t
lím
t:0 sen2 3t
2t
lím
u:0 cot (pu) sen u
2 sec u
lím
u:0 tan 5u
sen 2u
lím
u:0 sen 3u
tan u
lím
u:0 sen 3u
2u
lím
x:0 sen x
2x
lím
x:0 3x tan x
sen x
lím
t:0 cos2 t
1+sen t
lím
u:p>2 u cos u
lím
x:0 cos x
x+1
22. Demuestre las afirmaciones 5 y 6 del teorema 1.3A.
23. Con base en área(OBP) …área(sector OAP) …área(OBP) +
área(ABPQ) en la figura 4, demuestre que
y así obtenga otra demostración de que lím
t:0+1sen t2>t=1.
cos t…t
sen t…2-cos t
24. En la figura 5, sea Del área del triángulo ABP y Eel área de
la región sombreada.
(a) Haga una conjetura acerca del valor de observando la fi-
gura.
(b) Encuentre una fórmula para D>Een términos de t.
(c) Utilice una calculadora para obtener una estimación precisa
de
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 02. 1
3. el denominador es cero cuando t=04. 1
lím
t:0+
D
E.
C
lím
t:0+
D
E
Con frecuencia, los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas están en-
trelazados con el uso del concepto de infinito. Incluso, el progreso matemático, en par-
te, puede medirse en términos de la comprensión del concepto de infinito. Ya hemos
utilizado los símbolos qy -q en nuestra notación para ciertos intervalos.Así, (3, q) es
nuestra forma para denotar al conjunto de todos los números reales mayores que 3.
Observe que nunca nos hemos referido a qcomo un número. Por ejemplo, nunca lo
hemos sumado ni dividido entre algún número. Utilizaremos los símbolos qy -q de
una manera nueva en esta sección, pero éstos aún no representan números.
Límites al infinito Considere la función g(x) =x>(1 + x2) cuya gráfica se muestra
en la figura 1. Hacemos esta pregunta: ¿qué le sucede a g(x) cuando xse hace cada vez
más grande? En símbolos, preguntamos por el valor de
Cuando escribimos x:q,no queremos dar a entender que en un lugar muy, muy
alejado a la derecha del eje xexista un número —más grande que todos los demás— al
cual se aproxima x. En lugar de eso utilizamos x:qcomo una forma breve de decir
que xse hace cada vez más grande sin cota.
En la tabla de la figura 2 hemos listado valores de g(x) =x>(1 + x2) para diversos
valores de x. Parece que g(x) se hace cada vez más pequeño conforme xse hace cada
vez más grande. Escribimos
lím
x:q g1x2.
1.5
Límites al infinito;
límites infinitos
78 Capítulo 1 Límites
x
1
0
1
00
1
000
1
0000
x
1 +
x
2
0
.
000
1
0
.
00
1
0
.
01
0
0.0
99
`
?
↓
↓
Figura 2
y
x
M
y =
f
(
x
)
L
Figura 3
Definición Límite cuando
Sea fdefinida en [c,q) para algún número c. Decimos que , si para
cada e70 existe un correspondiente número M, tal que
x7M Q ƒf1x2-Lƒ6e
lím
x:q f1x2=L
x:q
Definición Límite cuando
Sea fdefinida en (-q,c] para algún número c. Decimos que si pa-
ra cada e70 existe un correspondiente número M, tal que
x6M Q ƒf1x2-Lƒ6e
lím
x:-q f1x2=L
x:-q
Al experimentar con números negativos cada vez más lejanos del cero nos conduciría a
escribir
Definiciones rigurosas de límites cuando En analogía con nues-
tra definición e- dpara límites ordinarios, hacemos la siguiente definición.
x:;q
lím
x:-q
x
1+x2=0
lím
x:q
x
1+x2=0
Notará que Mpuede depender de e. En general, entre más pequeña sea e, más
grande tendrá que ser M. La gráfica en la figura 3 puede ayudarle a comprender lo que
estamos diciendo.
■EJEMPLO 1 Demuestre que si kes un entero positivo, entonces
SOLUCIÓN Sea e70 dada. Después de un análisis preliminar (como en la sección
1.2), elegimos Entonces x7Mimplica que
La demostración de la segunda proposición es similar. ■
Habiendo dado las definiciones de esta nueva clase de límites, debemos enfrentar-
nos a la pregunta de si el teorema principal de límites (teorema 1.3A) se cumple para
ellos. La respuesta es sí, y la demostración es similar a la de las proposiciones origina-
les. Observe cómo utilizamos este teorema en los siguientes ejemplos.
■EJEMPLO 2 Demuestre que
SOLUCIÓN Aquí utilizamos un truco común: dividir el numerador y el denominador
entre la potencia más alta de xque aparece en el denominador, esto es, x2.
■ =
lím
x:q
1
x
lím
x:q
1
x2+lím
x:q 1
=0
0+1=0
lím
x:q
x
1+x2=lím
x:q
x
x2
1+x2
x2
=lím
x:q
1
x
1
x2+1
lím
x:q
x
1+x2=0.
`
1
xk-0
`
=1
xk61
Mk=e
M=2
k1>e.
lím
x:q
1
xk=0
y
lím
x:-q
1
xk=0
Sección 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 79
4
5
0
–
2
–
1
–
3
–
1
2
1
3
4
3
2
1
y
x
f
(
f
x
)
=
2
x
2
2
3
x
3
Figura 4
Definición Límite de una sucesión
Sea andefinida para todos los números naturales mayores o iguales que algún nú-
mero c. Decimos que , si para cada e70 existe un correspondiente núme-
ro natural M, tal que
n7M Q ƒan-Lƒ6e
lím
n:q an=L
a
n
n
1
0
.
8
0
.
6
0
.
4
0
.
2
1
0
1
5
2
0
5
Figura 5
Definición Límite infinito
Decimos que , si para cada número positivo Mcorresponde una
d70 tal que
06x-c6d Q f1x27M
lím
x:c+ f1x2=q
■EJEMPLO 3 Encuentre
SOLUCIÓN La gráfica de f(x) =2x3>(1 + x3) se muestra en la figura 4. Para encontrar
el límite, divida el numerador y el denominador entre x3.
■
Límites de sucesiones El dominio para algunas funciones es el conjunto de los
números naturales {1, 2, 3, . . .}. En esta situación, por lo regular escribimos anen lugar
de a(n) para denotar al n-ésimo término de la sucesión, o {an} para denotar a toda la
sucesión. Por ejemplo, podríamos definir la sucesión por medio de an=n>(n+ 1).
Considere lo que sucede cuando nse hace grande. Unos cuantos cálculos muestran que
Pareciera que estos valores se aproximan a 1, de modo que sería razonable decir que
para esta sucesión La siguiente definición proporciona significado a esta
idea del límite de una sucesión.
lím
n:q an=1.
a1=1
2,
a2=2
3,
a3=3
4,
a4=4
5,
Á,
a100 =100
101,
Á
lím
x:-q
2x3
1+x3=lím
x:-q
2
1>x3+1=2
0+1=2
lím
x:-q
2x3
1+x3.
Observe que esta definición es casi idéntica a la definición de La única
diferencia es que ahora pedimos que el argumento de la función sea un número natu-
ral. Como podríamos esperar, el teorema principal de los límites (teorema 1.3A) se
cumple para las sucesiones.
■EJEMPLO 4 Determine
SOLUCIÓN La figura 5 muestra una gráfica de . Al aplicar el teorema
1.3A se obtiene
■
Necesitaremos el concepto de límite de una sucesión en la sección 3.7 y en el capí-
tulo 4.
Límites infinitos Considere la gráfica de f(x) =1>(x-2) que se muestra en la fi-
gura 6. Cuando xse acerca a 2 por la izquierda, la función parece que disminuye sin co-
ta. De forma análoga, cuando xse aproxima a 2 por la derecha, la función parece que
aumenta sin cota. Por lo tanto, no tiene sentido hablar acerca de pero
creemos que es razonable escribir
Aquí está la definición precisa.
lím
x:2-
1
x-2= - q
y
lím
x:2+
1
x-2=q
lím
x:2 1>1x-22,
lím
n:q An+1
n+2=alím
n:q
n+1
n+2b1>2
=alím
n:q
1+1>n
1+2>nb1>2
=a1+0
1+0b1>2
=1
An+1
n+2
an=
lím
n:q An+1
n+2.
lím
x:q f1x2.
1
2
3
4
–
2
–
1
1
2
y
x
f
(
x
)
=
1
x
–
2
–
Figura 6
80 Capítulo 1 Límites
–
1
1
2
3
1
2
3
y
x
f
(
x
)
=
1
(
x
– 1)2
Figura 7
En otras palabras, f(x) puede hacerse tan grande como deseemos (mayor que cualquier
Mque elijamos) tomando xlo suficientemente cerca, pero a la derecha de c. Existen
definiciones correspondientes para
(Véase los problemas 51 y 52).
■EJEMPLO 5 Encuentre y
SOLUCIÓN La gráfica de f(x) =1>(x-1)2se muestra en la figura 7. Cuando x:1+,
el denominador permanece positivo pero tiende a cero, mientras que el numerador es
1 para toda x. Así, la razón 1>(x-1)2puede hacerse arbitrariamente grande restrin-
giendo la cercanía de xrespecto de 1, pero a la derecha de él. De manera análoga, cuan-
do x:1-, el denominador es positivo y puede hacerse arbitrariamente cercano a cero.
Así, 1>(x-1)2puede hacerse arbitrariamente grande restringiendo a que x esté cerca
de 1, pero a la izquierda de él. Por lo tanto, concluimos que
Ya que ambos límites son q, también podríamos escribir
■
■EJEMPLO 6 Encuentre
SOLUCIÓN
Cuando x:2+vemos que x+ 1 :3, x-3 :-1 y x-2 :0+; por lo tanto, el numera-
dor se aproxima a 3, pero el denominador es negativo y tiende a cero. Concluimos que
■
Relación con las asíntotas Las asíntotas se estudiaron brevemente en la sec-
ción 0.5, pero ahora podemos decir más acerca de ellas. La recta x=ces una asíntota
vertical de la gráfica de y=f(x), si cualquiera de las siguientes cuatro proposiciones es
verdadera.
1. 2.
3. 4.
Así, en la figura 6 la recta x=2 es una asíntota vertical. Del mismo modo, en el ejemplo
6 las rectas x=2 y x=3, aunque no se muestran gráficamente, son asíntotas verticales.
De una forma similar, la recta y=bes una asíntota horizontal de la gráfica de
y=f(x) si se cumple
La recta y=0 es una asíntota horizontal en las figuras 6 y 7.
■EJEMPLO 7 Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de
y=f(x), si
f1x2=2x
x-1
lím
x:q f1x2=b
o
lím
x:-q f1x2=b
lím
x:c- f1x2= - q
lím
x:c- f1x2=q
lím
x:c+ f1x2= - q
lím
x:c+ f1x2=q
lím
x:2+
x+1
1x-321x-22= - q
lím
x:2+
x+1
x2-5x+6=lím
x:2+
x+1
1x-321x-22
lím
x:2+
x+1
x2-5x+6.
lím
x:1
1
1x-122=q
lím
x:1+
1
1x-122=q
y
lím
x:1-
1
1x-122=q
lím
x:1+
1
1x-122.lím
x:1-
1
1x-122
lím
x:-q f1x2= - q
lím
x:-q f1x2=q
lím
x:q f1x2= - q
lím
x:q f1x2=q
lím
x:c- f1x2= - q
lím
x:c- f1x2=q
lím
x:c+ f1x2= - q
En las secciones anteriores pedimos
que un límite sea igual a un número
real. Por ejemplo, dijimos que
no existe porque
no se aproxima a un
número real cuando x se aproxima a
2 por la derecha. Muchos matemáti-
cos sostienen que este límite no
existe, a pesar de que escribimos
; decir que el límite
es q es describir la forma particular
en que el límite no existe. Aquí
utilizaremos la frase “existe en el
sentido infinito” para describir tales
límites.
lím
x:2+
1
x-2= q
1>1x-22
lím
x:2+
1
x-2
¿Existen los límites infinitos?
Sección 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 81
–
2
–
1
2
3
4
1
3
4
x
y
f
(
x
2
x
2
2
x
–
1
–
Figura 8
SOLUCIÓN Con frecuencia tenemos una asíntota vertical en un punto en donde el
denominador es cero, y en este caso así es, ya que
Por otra parte,
y así y=2 es una asíntota horizontal. La gráfica de y=2x>(x-1) se muestra en la fi-
gura 8. ■
lím
x:q
2x
x-1=lím
x:q
2
1-1>x=2
y
lím
x:-q
2x
x-1=2
lím
x:1+
2x
x-1=q
y
lím
x:1-
2x
x-1= - q
Revisión de conceptos
1. Decir que x:qsignifica que _____; decir que
significa que _____. Dé sus respuestas en lenguaje informal.
2. Decir que significa que _____; decir que
significa que _____. Dé sus respuestas en lenguaje
informal.
lím
x:c- f1x2= - q
lím
x:c+ f1x2=q
lím
x:q f1x2=L3. Si entonces la recta _____ es una asíntota
______ de la gráfica de y=f(x).
4. Si entonces la recta ________ es una asínto-
ta _______ de la gráfica de y=f(x).
lím
x:6+ f1x2=q,
lím
x:q f1x2=6,
Conjunto de problemas 1.5
En los problemas del 1 al 42 determine los límites.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. Sugerencia: divida el numerador y el de-
nominador entre x. Observe que, para
20. lím
x:q
22x+1
x+4
21x2+32>x2.
x70, 2x2+3>x=
lím
x:q
2x+1
2x2+3
.
lím
n:q n
n2+1
lím
n:q n2
n+1
lím
n:q n2
n2+1
lím
n:q
n
2n+1
lím
x:q
C
x2+x+3
1x-121x+12
lím
x:q
C
3 1+8x2
x2+4
lím
x:q
C
3 px3+3x
22x3+7x
lím
x:q
32x3+3x
22x3
lím
u:q sen2 u
u2-5
lím
x:q 3x3-x2
px3-5x2
lím
u:-q pu5
u5-5u4
lím
x:q x3
2x3-100x2
lím
x:q x2
x2-8x+15
lím
x:q
x2
1x-5213-x2
lím
t:-q t
t-5
lím
t:-q t2
7-t2
lím
x:q x2
5-x3
lím
x:q x
x-5
21. Sugerencia: multiplique y
divida por
22.
23. Sugerencia: divida el numerador y el de-
nominador entre y2.
24. donde a0Z0, b0Z
0 y nes un número natural.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38. lím
x:0- Œxœ
x
lím
x:0+ Œxœ
x
lím
x:2+
x2+2x-8
x2-4
lím
x:3-
x2-x-6
x-3
lím
u:1p>22+
pu
cos u
lím
x:3-
x3
x-3
lím
u:p+
u2
sen u
lím
x:5-
x2
1x-5213-x2
lím
x:235+
x2
5-x3
lím
t:3-
t2
9-t2
lím
t:-3+
t2-9
t+3
lím
x:4+
x
x-4
lím
n:q
n2
2n3+2n+1
lím
n:q
n
2n2+1
lím
x:q
a0xn+a1xn-1+Á+an-1x+an
b0xn+b1xn-1+Á+bn-1x+bn
,
lím
y:-q
9y3+1
y2-2y+2.
lím
x:q
A
2x2+2x-x
B
22x2-5.22x2+3+
lím
x:q
A
22x2+3-22x2-5
B
.
82 Capítulo 1 Límites
39. 40.
41. 42.
En los problemas del 43 al 48 encuentre las asíntotas horizontales
y verticales para las gráficas de las funciones indicadas. Después dibu-
je sus gráficas.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. La recta y=ax + bse denomina asíntota oblicua a la gráfica
de o
Encuentre la asíntota oblicua para
Sugerencia: Comience por dividir el denominador entre el nume-
rador.
50. Encuentre la asíntota oblicua para
51. Utilizando los símbolos My d, dé definiciones precisas de ca-
da expresión.
(a) (b)
52. Utilizando los símbolos My N, dé definiciones precisas de
cada expresión.
(a) (b)
53. Dé una demostración rigurosa de que si y
entonces
54. Hemos dado el significado de para A=a,a-,a+,
-q,q. Además, en cada caso, este límite puede ser L(finito), -q,q
o es posible que no exista. Construya una tabla que ilustre cada uno
de los 20 casos posibles.
55. Encuentre cada uno de los siguientes límites o indique que
no existe, incluso, en el sentido infinito.
(a) (b) lím
x:q sen
1
x
lím
x:q sen x
lím
x:A f1x2
lím
x:q [f1x2+g1x2]=A+B
lím
x:q g1x2=B,
lím
x:q f1x2=A
lím
x:-q f1x2=q
lím
x:q f1x2=q
lím
x:c- f1x2=q
lím
x:c+ f1x2= - q
f1x2=3x3+4x2-x+1
x2+1
f1x2=2x4+3x3-2x-4
x3-1
lím
x:-q [ f1x2-1ax +b2]=0.lím
x:q [ f1x2-1ax +b2]=0
g1x2=2x
2x2+5
g1x2=14
2x2+7
F1x2=3
9-x2
F1x2=2x
x-3
f1x2=3
1x+122
f1x2=3
x+1
GC
lím
x:q
sen x
x
lím
x:0-
1+cos x
sen x
lím
x:0+
ƒxƒ
x
lím
x:0-
ƒxƒ
x(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
56. La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein dice que la
masa m(v) de un objeto está relacionada con su velocidad vpor me-
dio de
Aquí, m0es la masa en reposo y ces la velocidad de la luz. ¿Qué es
Utilice una computadora o una calculadora gráfica para encontrar
los límites en los problemas del 57 al 64. Empiece por la gráfica de la
función en una ventana adecuada.
57. 58.
59.
60. 61.
62. 63.
64.
Encuentre los límites unilaterales en los problemas del 65 al 71.
Comience por graficar la función en una ventana adecuada. Su com-
putadora puede indicar que alguno de estos límites no existen, pero si
es así, usted debe ser capaz de interpretar la respuesta como qo -q.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71.
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. xaumenta sin cota;
f(x) se aproxima a Lcuando xaumenta sin cota. 2. f(x) aumenta
sin cota cuando xse aproxima a cpor la derecha; f(x) disminuye sin
cota cuando xtiende a cpor la izquierda. 3. y=6; horizontal 4. x=6;
vertical.
lím
x:0+
A
1+1x
B
x
lím
x:0+
A
1+1x
B
1>x
lím
x:0+
A
1+1x
B
1>1x
lím
x:p
2
+
cos x
x-p>2
lím
x:3-
cos1x-32
x-3
lím
x:3-
sen ƒx-3ƒ
tan1x-32
lím
x:3-
sen ƒx-3ƒ
x-3
CAS
lím
x:q a1+1
xbsen x
lím
x:q a1+1
xbx2
lím
x:q a1+1
xbx
lím
x:q a1+1
xb10
lím
x:q
2x+1
23x2+1
lím
x:-q
A
22x2+3x-22x2-5
B
lím
x:-q
C
2x2-3x
5x2+1
lím
x:q
3x2+x+1
2x2-1
GC
lím
v:c- m1v2?
m1v2=m0
21-v2>c2
lím
x:q csenax+1
xb-sen xdlím
x:q senax+1
xb
lím
x:q senap
6+1
xblím
x:q x-1>2 sen x
lím
x:q x3>2 sen
1
x
lím
x:q x sen
1
x
En matemáticas y ciencias utilizamos la palabra continuo para describir un proceso
que sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer que
esto es una característica esencial de muchos procesos naturales. Es esta noción, con
respecto a funciones, la que ahora queremos precisar. En las tres gráficas que se mues-
tran en la figura 1, sólo la tercera exhibe continuidad en c. En las primeras dos gráficas,
no existe, o bien existe pero no es igual a f(c). Sólo en la tercera gráfica
lím
x:c f1x2=f1c2.
lím
x:c f1x2
1.6
Continuidad
de funciones
Sección 1.6 Continuidad de funciones 83
Un buen ejemplo de una máquina
de discontinuidades es la máquina de
servicio postal, que (en 2005, en
Estados Unidos) cobraba $0.37 por
una carta de 1 onza, pero $0.60
por una carta de un poco más de
una onza.
Una máquina discontinua
y
x
f
f
c
l
í
f
(
x
)
n
o
exist
e
x
→
y
x
f
c
l
í
f
(
x
) existe,
p
er
o
x
→
l
í
f
(
x
≠
f
f
c
)
.
x
→
y
f
c
x
lím
(
x
f
(
c
)
x
→
c
Figura 1
Definición Continuidad en un punto
Sea fdefinida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que fes continua en
csi
lím
x:c f1x2=f1c2
1
2
3
1
2
3
4
y
x
f
(
x
)
=
4
,
≠
2
4, x=
2
Figura 2
Teorema A Continuidad de funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial es continua en todo número real c. Una función racional es
continua en todo número real cen su dominio; es decir, en todas partes, excepto en
donde su denominador es cero.
He aquí la definición formal.
Con esta definición queremos decir que necesitamos tres cosas:
1. que existe,
2. que f(c) existe (es decir, cestá en el dominio de f) y
3.
Si cualquiera de estas tres no se cumple, entonces fes discontinua en c. Así, las funcio-
nes representadas por la primera y segunda gráficas de la figura 1 son discontinuas en
c. Sin embargo, no parecen ser discontinuas en otros puntos de sus dominios.
■EJEMPLO 1 Sea ¿Cómo debe definirse fen x=2 para
hacer que sea continua allí?
SOLUCIÓN
Por lo tanto, definimos f(2) =4. La gráfica de la función resultante se muestra en la fi-
gura 2. De hecho, vemos que f(x) =x+ 2 para toda x.■
Un punto de discontinuidad cse denomina removible, si la función puede definir-
se o redefinirse en c, de modo que se haga continua la función. De otra forma, un pun-
to de discontinuidad se denomina no removible. La función fdel ejemplo 1 tiene una
discontinuidad removible en 2, ya que podríamos definir f(2) =4 y la función sería con-
tinua allí.
Continuidad de funciones conocidas La mayoría de las funciones con las
que nos enfrentaremos en este texto son (1) continuas en todas partes o (2) continuas
en todas partes, excepto en algunos puntos. En particular, el teorema 1.3B implica el si-
guiente resultado.
lím
x:2 x2-4
x-2=lím
x:2 1x-221x+22
x-2=lím
x:21x+22=4
f1x2=x2-4
x-2, xZ2.
lím
x:c f1x2=f1c2.
lím
x:c f1x2
84 Capítulo 1 Límites
–
2
–
1
–
4
–
3
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
f
(
f
x
)
=
)
x
)
Figura 3
1
2
3
4
5
1
2
3
y
x
f
(
f
x
)
=
x
Figura 4
Teorema B Continuidad de las funciones valor absoluto y raíz n-ésima
La función valor absoluto es continua en todo número real c. Si nes impar, la
función raíz n-ésima es continua en todo número real c; si nes par, la función raíz
n-ésima es continua en todo número real positivo.
Teorema C Continuidad en operaciones con funciones
Si fy gson continuas en c, entonces también lo son kf,f+ g,f-g,f ?g,f>g(con tal
que g(c) Z0), fn, (siempre que f(c) 70, si nes par).
2
nf
Recuerde la función valor absoluto f(x) =|x|; su gráfica se muestra en la figura 3.
Para x60, f(x) = -x, es una función polinomial; para x70, f(x) =x, es otra función po-
linomial.Así, por el teorema A, |x| es continua en todos los números diferentes de cero.
Pero
(véase el problema 27 de la sección 1.2). Por lo tanto, |x| también es continua en cero
por lo que es continua en todas partes.
Por medio del teorema principal sobre límites (teorema 1.3A)
siempre que c70, cuando nes par. Esto significa que es continua en cada
punto donde tiene sentido hablar acerca de continuidad. En particular, es
continua en cada número real c70 (véase la figura 4). Resumimos.
f1x2=1x
f1x2=1
nx
lím
x:c
1
nx=2
nlím
x:c x=1
nc
lím
x:0ƒxƒ=0=ƒ0ƒ
Continuidad en operaciones con funciones ¿Las operaciones ordinarias
entre funciones preservan la continuidad? Sí, de acuerdo con el teorema siguiente. En
éste, fy gson funciones, kes una constante y nes un entero positivo.
Demostración Todos estos resultados son consecuencias fáciles de los correspon-
dientes hechos para límites del teorema 1.3A. Por ejemplo, ese teorema, combinado
con el hecho de que fy gson continuas en c, produce
Esto es precisamente lo que significa decir que f?ges continua en c.■
■EJEMPLO 2 ¿En qué números es conti-
nua?
SOLUCIÓN No necesitamos considerar números no positivos, ya que Fno está defi-
nida en tales números. Para cualquier número positivo, todas las funciones
y x2son continuas (teoremas A y B). Se deduce, con base en el teorema C, que
y por último,
son continuas en cada número positivo. ■
La continuidad de funciones trigonométricas se deduce del teorema 1.4A.
13ƒxƒ-x22
A
1x+13x
B
1x+13x,3 ƒxƒ-x2,3 ƒxƒ,
ƒxƒ,
13x,1x,
F1x2=13ƒxƒ-x22>
A
1x+13x
B
lím
x:c f1x2g1x2=lím
x:c f1x2#lím
x:c g1x2=f1c2g1c2
Teorema D Continuidad de funciones trigonométricas
Las funciones seno y coseno son continuas en todo número real c. Las funciones tan
x, cot x, sec xy csc xson continuas en todo número real cen sus dominios.
Sección 1.6 Continuidad de funciones 85
Teorema E Teorema del límite de composición de funciones
Si y si fes continua en L, entonces
En particular, si ges continua en cy fes continua en g(c), entonces la composición
f ges continua en c.
lím
x:c f1g1x22 =f
A
lím
x:c g1x2
B
=f1L2
lím
x:c g1x2=L
x
g
g
x
)
f
(
(
x
))
f
(
L
)
L
c
f
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
f
f
)
)
)
)
)
)
)
!
1
!
!
!
)
2
!
!
Figura 6
Demostración El teorema 1.4A dice que para todo número real c en el dominio
de la función y así sucesivamente para las seis
funciones trigonométricas. Éstas son exactamente las condiciones requeridas para que
estas funciones sean continuas en cada número real en sus respectivos dominios. ■
■EJEMPLO 3 Determine todos los puntos de discontinuidad de
xZ0, 1. Clasifique cada punto de discontinuidad como removible o no removible.
SOLUCIÓN Mediante el teorema D, el numerador es continuo en todo número real.
El denominador también es continuo en todo número real, pero cuando x=0 o x=1,
el denominador es 0. Por lo tanto, con base en el teorema C, fes continua en todo nú-
mero real, excepto x=0 y x=1. Como
podríamos definir f(0) =1 y, allí, la función sería continua. Por lo que x=0 es una dis-
continuidad removible.Además, como
no existe forma de definir f(1) para hacer que fsea continua en x=1. Por lo tanto, x=1 es
una discontinuidad no removible. Una gráfica de y=f(x) se muestra en la figura 5. ■
Existe otra operación con funciones, la composición, que será muy importante en
el trabajo posterior.También preserva la continuidad.
lím
x:1+ sen x
x(1 -x)= - q y lím
x:1- sen x
x(1 -x)=q
lím
x:0 sen x
x(1 -x)=lím
x:0 sen x
x #lím
x:0 1
(1 -x)=(1)(1) =1
f(x)=sen x
x(1 -x),
lím
x:c sen x=sen c, lím
x:c cos x=cos c,
Demostración del teorema E (opcional)
Demostración Sea e70 dada. Como fes continua en Lexiste una d170 corres-
pondiente, tal que
y así (véase la figura 6)
Pero ya que para una d170 dada existe una correspondiente d270, tal
que
Cuando reunimos estos dos hechos, tenemos
Esto demuestra que
lím
x:c f1g1x22 =f1L2
06ƒx-cƒ6d2 Q ƒf1g1x22 -f1L2ƒ6e
06ƒx-cƒ6d2 Q ƒg1x2-Lƒ6d1
lím
x:c g1x2=L,
ƒg1x2-Lƒ6d1 Q ƒf1g1x22 -f1L2ƒ6e
ƒt-Lƒ6d1 Q ƒf1t2-f1L2ƒ6e
1
y
x
2
1
1
–
1
–
2
π
2
y
=
se
n
x
x
(
1
–
x
)
π
2
π
–
Figura 5
86 Capítulo 1 Límites
La segunda proposición en el teorema E se deduce de la observación de que si ges
continua en centonces L=g(c). ■
■EJEMPLO 4 Demuestre que h(x) =|x2-3x+ 6| es continua en todo número
real.
SOLUCIÓN Sea f(x) =|x| y g(x) =x2-3x+ 6.Ambas son continuas en cada número
real y, por lo tanto, su composición
también lo es. ■
■EJEMPLO 5 Demuestre que
es continua excepto en 3 y -2.
SOLUCIÓN Así, la función racional
es continua excepto en 3 y -2 (teorema A). Del teorema D sabemos que la función se-
no es continua en todo número real.Así, con base en el teorema E concluimos que, co-
mo h(x) =sen(g(x)), htambién es continua excepto en 3 y -2. ■
Continuidad en un intervalo Hasta el momento hemos estudiado continui-
dad en un punto.Ahora, deseamos analizar la continuidad en un intervalo. La continui-
dad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo.
Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto.
Cuando consideramos un intervalo cerrado [a,b], nos enfrentamos a un problema.
Podría ser que fincluso no esté definida a la izquierda de a(por ejemplo, esto ocurre
para en a=0), así que hablando estrictamente, no existe. Elegimos
darle la vuelta a este problema diciendo que fes continua en [a,b] si es continua en ca-
da punto de (a,b) y si y Resumimos esto en una
definición formal.
lím
x:b- f1x2=f1b2.lím
x:a+ f1x2=f1a2
lím
x:a f1x2
f1x2=1x
g1x2=x4-3x+1
x2-x-6
x2-x-6=1x-321x+22.
h1x2=sen
x4-3x+1
x2-x-6
h1x2=f1g1x22 =ƒx2-3x+6ƒ
y
x
–
1
1
2
3
4
5
6
Figura 7
Definición Continuidad en un intervalo
La función fes continua por la derecha en asi y continua por la
izquierda en bsi
Decimos que fes continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto
de ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [a,b] si es continua en (a,b),
continua por la derecha en ay continua por la izquierda en b.
lím
x:b- f1x2=f1b2.
lím
x:a+ f1x2=f1a2
Por ejemplo, es correcto decir que f(x) =1>xes continua en (0, 1) y que
es continua en [0, 1].
■EJEMPLO 6 Mediante la definición anterior describa las propiedades de la
continuidad de la función cuya gráfica está dibujada en la figura 7.
SOLUCIÓN La función parece que es continua en los intervalos (-q, 0), (0, 3) y
(5, q) y también en el intervalo cerrado [3, 5] ■
■EJEMPLO 7 ¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función definida
por es continua?g1x2=24-x2
g1x2=1x
Sección 1.6 Continuidad de funciones 87
y
x
a
c
1
c
2
c
3
c
b
W
2
W
W
f
(
b
)
f
(
a
)
W
1
y =
f
(
x
)
Figura 8
y
x
a
b
W
y = f (x)
No es continua
;
la
p
ro
p
iedad del valo
r
intermedio no se cum
p
le
.
Figura 9
y
x
b
f
(
b
)
y = f (x)
a
f
(
a
)
No es continua, aun
q
ue se cum
p
l
e
la
p
ro
p
iedad del valor intermedi
o
Figura 10
Teorema F Teorema del valor intermedio
Sea funa función definida en [a,b] y sea Wun número entre f(a) y f(b). Si f
es continua en [a,b], entonces existe al menos un número centre ay b, tal que
f(c) =W.
y
x
1.
5
1
0
.
5
0
–
0
.
5
–
1
2
4
Figura 11
SOLUCIÓN El dominio de ges el intervalo [-2, 2]. Si cpertenece al intervalo
abierto (-2, 2), entonces, por el teorema E, ges continua en c; de aquí que ges continua
en (-2, 2). Los límites laterales son
y
Esto implica que ges continua por la derecha en -2 y continua por la izquierda en 2.
Así, ges continua en su dominio, el intervalo cerrado [-2, 2]. ■
De manera intuitiva, que fsea continua en [a,b] significa que la gráfica de fen [a,
b] no debe tener saltos, de modo que debemos ser capaces de “dibujar” la gráfica de f
desde el punto (a,f(a)) al punto (b,f(b)) sin levantar nuestro lápiz del papel. Así, la
función fdebe tomar todos los valores entre f(a) y f(b). Esta propiedad se establece de
manera más precisa en el teorema F.
lím
x:2- 24-x2=34-
A
lím
x:2-x
B
2=24-4=0=g122
lím
x:-2+ 24-x2=34-
A
lím
x:-2+x
B
2 24-4=0=g1-22
La figura 8 muestra la gráfica de una función f(x) que es continua en [a,b]. El
teorema del valor intermedio dice que para toda Wen (f(a), f(b)) debe existir una cen
[a,b], tal que f(c) =W. En otras palabras, ftoma todos los valores entre f(a) y f(b). La
continuidad es necesaria para este teorema, pues de otra forma es posible encontrar
una función fy un número Wentre f(a) y f(b), tal que no exista una cen [a,b] que sa-
tisfaga f(c) =W. La figura 9 muestra un ejemplo de tal función.
Parece claro que la continuidad es suficiente, aunque una demostración formal de
este resultado es difícil. Dejamos la demostración para obras más avanzadas.
El inverso de este teorema, el cual no es cierto en general, dice que si ftoma todos
los valores entre f(a) y f(b), entonces fes continua. Las figuras 8 y 10 muestran funcio-
nes que toman todos los valores entre f(a) y f(b), pero la función en la figura 10 no es
continua en [a,b]. Sólo porque una función tenga la propiedad del valor intermedio no
significa que deba ser continua.
El teorema del valor intermedio puede usarse para decirnos algo acerca de las so-
luciones de ecuaciones, como lo muestra el ejemplo siguiente.
■EJEMPLO 8 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la
ecuación x-cos x=0 tiene una solución entre x=0 y x=p>2.
SOLUCIÓN Sea f(x) =x-cos x, y sea W=0. Entonces f(0) =0 -cos 0 = -1 y f(p>2)
=p>2 -cos p>2 =p>2. Como fes continua en [0, p>2] y puesto que W=0 está entre f(0)
y f(p>2), el teorema del valor intermedio implica la existencia de una cen el intervalo
(0, p>2) con la propiedad de que f(c) =0.Tal ces una solución para la ecuación x-cos
x=0. La figura 11 sugiere que existe exactamente una de tales c.
Podemos ir un paso más adelante. El punto medio del intervalo [0, p>2] es el pun-
to x=p>4. Cuando evaluamos f(p>4) obtenemos
que es mayor a cero. Así, f(0) 60 y f(p>4) 70, de tal manera que otra aplicación del
teorema del valor intermedio nos dice que existe una centre 0 y p>4, tal que f(c) =0.
Hemos reducido el intervalo que contiene a la cdeseada de [0, p>2] a [0, p>4]. Nada nos
f1p>42=p
4-cos
p
4=p
4-22
2L0.0782914
88 Capítulo 1 Límites
(
–
r
, 0
)
(
r
, 0
)
(
r
cos
r
u
,
r
sen
r
u
)
(
r
cos (
r
u
(
+
p
)
,
r
sen (
r
u
(
+
p
))
p
+
u
u
Figura 12
impide seleccionar el punto medio de [0, p>4] y evaluar fen ese punto, y por ello reducir
aún más el intervalo que contiene a c.Este proceso puede continuar de manera indefinida
hasta que encontremos que cestá en un intervalo suficientemente pequeño. Este méto-
do para obtener una solución se denomina método de bisección, y los estudiaremos en
la sección 3.7. ■
El teorema del valor intermedio también puede conducir a algunos resultados sor-
prendentes.
■EJEMPLO 9 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que en un
anillo circular siempre existen dos puntos opuestos con la misma temperatura.
SOLUCIÓN Elija coordenadas para este problema de modo que el centro del anillo
sea el origen, y sea rel radio del anillo. (Véase la figura 12). Defina T(x,y) como la
temperatura en el punto (x,y). Considere un diámetro del círculo que forma un ángu-
lo ucon el eje xy defina f(u) como la diferencia de las temperaturas entre los puntos
que forman ángulos de uy u+ p, esto es,
Con esta definición
Así, f(0) y f(p) son cero, o una es positiva y la otra es negativa. Si ambas son cero, en-
tonces hemos encontrado los dos puntos requeridos. De otra forma, podemos aplicar el
teorema del valor intermedio. Suponiendo que la temperatura varía de manera conti-
nua, concluimos que existe centre 0 y p, tal que f(c) =0. Así, para los dos puntos con
ángulos cy c+ p, las temperaturas son iguales. ■
f1p2=T1-r, 02-T1r, 02= -
C
T1r, 02-T1-r, 02
D
= -f102
f102=T1r, 02-T1-r, 02
f1u2=T1r cos u, r sen u2-T1r cos1u+p2, r sen1u+p22
Revisión de conceptos
1. Una función fes continua en csi ________ =f(c).
2. La función es discontinua en ________.
3. Se dice que una función fes continua en un intervalo cerrado
[a,b], si es continua en cada punto de (a,b) y si ________ y ________.
f1x2=Œxœ
4. El teorema del valor intermedio dice que si una función fes
continua en [a,b] y Wes un número entre f(a) y f(b), entonces existe
un número centre ________ y ________ tal que ________.
Conjunto de problemas 1.6
En los problemas del 1 al 15 establezca si la función indicada es conti-
nua en 3. Si no es continua, diga por qué.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. r1t2=
L
t3-27
t-3si tZ3
27 si t=3
f1x2=21 -7x
x-3
h1x2=x2-9
x-3
g1t2=ƒt-2ƒ
f1t2=ƒtƒ
h1t2=
ƒ
21t-324
ƒ
t-3
h1t2=ƒt-3ƒ
t-3
g1t2=2t-4
h1x2=3
x-3
g1x2=x2-9f1x2=1x-321x-4212.
13.
14.
15.
16. Con base en la gráfica de g(véase la figura 13), indique los
valores en donde ges discontinua. Para cada uno de estos valores es-
tablezca si ges continua por la derecha, por la izquierda o ninguna.
f1x2=e-3x+7 si x…3
-2 si x73
f1t2=et2-9 si t…3
13-t22 si t73
f1t2=et-3 si t…3
3-t si t73
r1t2=
L
t3-27
t-3 si tZ3
23 si t=3
Sección 1.6 Continuidad de funciones 89
2
4
6
6
8
1
0
0
2
4
6
8
1
0
−
2
−
4
−
6
y
x
2
4
6
6
8
1
0
0
2
4
6
8
1
0
–
2
–
4
–
6
12
y
x
Figura 13 Figura 14
17. A partir de la gráfica de hdada en la figura 14, indique los in-
tervalos en los que hes continua.
En los problemas del 18 al 23 la función dada no está definida en cier-
to punto. ¿Cómo debe definirse para hacerla continua en ese punto?
(Véase el ejemplo 1).
18. 19.
20. 21.
22. 23.
En los problemas del 24 al 35, ¿en qué puntos, si los hay, las funciones
son discontinuas?
24.
25.
26. 27.
28. 29.
30. 31.
32.
33.
34. 35.
36. Dibuje la gráfica de una función fque satisfaga todas las con-
diciones siguientes.
(a) Su dominio es
(b)
(c) Es discontinua en -1 y 1.
(d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en
1.
37. Haga el bosquejo de la gráfica de una función que tenga do-
minio [0, 2] y sea continua en [0, 2), pero no en [0, 2].
38. Bosqueje la gráfica de una función que tenga dominio [0, 6] y
sea continua en [0, 2] y en (2, 6], pero que no sea continua en [0, 6].
39. Haga el bosquejo de la gráfica de una función que tenga do-
minio [0, 6] y sea continua en (0, 6) pero no en [0, 6].
f1-22=f1-12=f112=f122=1.
[-2, 2].
g1t2=Œt+1
2œ
f1t2=Œtœ
g1x2=cx2 si x60
-x si 0 …x…1
x si x71
f1x2=cxsi x60
x2si 0 …x…1
2-xsi x71
G1x2=1
24-x2
F1x2=1
24+x2
g1u2=u2+ƒu-1ƒ
23u+1
f1u2=2u+7
2u+5
r1u2=tan u
h1u2=ƒsen u+cos uƒ
f1x2=33 -x2
xp+3x-3p-x2
f1x2=3x+7
1x-3021x-p2
F1x2=sen
x2-1
x+1
f1x2=x4+2x2-3
x+1
H1t2=1t-1
t-1
g1u2=sen u
u
f1x2=2x2-18
3-x
f1x2=x2-49
x-7
40. Sea
Dibuje la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida en dón-
de es continua.
En los problemas del 41 al 48 determine si la función es continua en el
punto dado c. Si la función no es continua, determine si la discontinui-
dad es removible o no removible.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. Una compañía de teléfonos celulares cobra $0.12 por hacer
una llamada más $0.08 por minuto o fracción (por ejemplo, una
llamada telefónica que dure 2 minutos y 5 segundos cuesta $0.12 + 3
* $0.08). Haga el bosquejo de una gráfica del costo de una llamada
como función de la duración tde la llamada. Analice la continuidad
de esta función.
50. Una compañía que renta automóviles cobra $20 por día, con
200 millas incluidas. Por cada 100 millas adicionales, o cualquier frac-
ción de éstas, la compañía cobra $18. Haga el bosquejo de una gráfica
del costo por la renta de un automóvil durante un día como función
de las millas recorridas. Analice la continuidad de esta función.
51. Una compañía de taxis cobra $2.50 durante el primer cuarto
de milla y $0.20 por cada de milla adicional. Haga un bosquejo del
costo de un viaje en taxi como función del número de millas recorri-
das. Analice la continuidad de esta función.
52. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que
x3+ 3x-2 =0 tiene una solución real entre 0 y 1.
53. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que
(cos t)t3+ 6 sen5t-3 =0 tiene una solución real entre 0 y 2p.
54. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que
x3-7x2+ 14x-8 =0 tiene al menos una solución real en el intervalo
[0, 5]. Haga un bosquejo de la gráfica de y=x3-7x2+ 14x-8 en [0,
5]. En realidad, ¿cuántas soluciones tiene esta ecuación?
55. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que
tiene una solución entre 0 y p>2. Haga un acerca-
miento de la gráfica de para determinar un inter-
valo que tenga longitud 0.1 y que contenga esta solución.
56. Demuestre que la ecuación x5+ 4x3-7x+ 14 =0 tiene al me-
nos una solución real.
57. Pruebe que fes continua en csi y sólo si
58. Demuestre que si fes continua en cy f(c) 70, existe un inter-
valo (c-d,c+ d), tal que f(x) 70 en este intervalo.
59. Demuestre que si fes continua en [0, 1] y ahí satisface 0 …
f(x) …1, entonces ftiene un punto fijo; esto es, existe un número cen
[0, 1], tal que f(c) =c.Sugerencia: aplique el teorema del valor inter-
medio a g(x) =x-f(x).
f1c2.
lím
t:0 f1c+t2=
y=1x-cos x
1x-cos x=0
GC
GC
1
8
f1x2=4-x
2-1x; c=4
f1x2=sen
1
x; c=0
F1x2=x sen
1
x; c=0
g1x2=
L
sen x
x,xZ0
0,
x=0
f1x2=cos x
x; c=0
f1x2=sen x
x; c=0
f1x2=x2-100
x-10 ; c=10
f1x2=sen x; c=0
f1x2=exsi x es racional
-xsi x si es irracional
90 Capítulo 1 Límites
y
x
D
θ
Figura 15
60. Encuentre los valores de ay bde modo que la siguiente fun-
ción sea continua en todas partes.
61. Una liga estirada cubre el intervalo [0, 1]. Los extremos se
sueltan y la liga se contrae de modo que cubre el intervalo [a,b] con
a≥0 y b …1. Demuestre que esto resulta en un punto de la liga (en
realidad exactamente un punto) que estará en donde estaba original-
mente. Véase el problema 59.
62. Sea Entonces y f(2) =1. ¿El
teorema del valor intermedio implica la existencia de un número c
entre -2 y 2, tal que f(c) =0? Explique.
63. Iniciando a las 4 a. m., un excursionista escala lentamente ha-
cia la cima de una montaña, a donde llega al mediodía.Al día siguien-
te, regresa a por la misma ruta, iniciando a las 5 a. m.; a las 11 de la
mañana llega al pie de la montaña. Demuestre que en algún punto a
lo largo de la ruta su reloj mostraba la misma hora en ambos días.
64. Sea Duna región acotada, pero arbitraria en el primer cua-
drante. Dado un ángulo u, 0 …u…p>2, Dpuede ser circunscrita por
medio de un rectángulo cuya base forme un ángulo ucon el eje x, co-
mo se muestra en la figura 15. Demuestre que para algún ángulo este
rectángulo es un cuadrado. (Esto significa que cualquier región aco-
tada puede ser encerrada dentro de un cuadrado).
f1-22= - 1
3
f1x2=1
x-1.
f1x2=cx+1 si x61
ax +bsi 1 …x62
3xsi xÚ2
65. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre un objeto
que tiene masa my que se encuentra a una distancia rdel centro de
la Tierra es
g1r2=dGMmr
R3, si r6R
GMm
r2, si rÚR
Aquí, Ges la constante gravitacional, Mes la masa de la Tierra y Res
el radio de la Tierra. ¿Es guna función continua de r?
66. Suponga que fes continua en [a,b] y nunca es cero allí. ¿Es
posible que fcambie de signo en [a,b]? Explique.
67. Sea f(x+ y) =f(x) + f(y) para toda xy y, y suponga que fes
continua en x=0.
(a) Demuestre que fes continua en todas partes.
(b) Demuestre que existe una constante m, tal que f(t) =mt para to-
da t(véase el problema 43 de la sección 0.5).
68. Pruebe que si f(x) es una función continua en un intervalo,
entonces también lo es la función
69. Demuestre que si g(x) =|f(x)| es continua, no necesariamen-
te es cierto que f(x) sea continua.
70. Sea f(x) =0, si xes irracional, y sea f(x) =1>q, si xes el núme-
ro racional p>qen su mínima expresión (q70).
(a) Dibuje, lo mejor que pueda, la gráfica de fen (0, 1).
(b) Demuestre que fes continua en cada número irracional en
(0, 1), pero es discontinua en cada número racional en (0, 1).
71. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado
de longitud 1 unidad tiene su cara en la vertical del plano xy con un
vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor
de Vhasta que un lado golpee el piso, en el eje x(véase la figura 16).
Denótese con xla abscisa inicial del punto medio M, del lado opues-
to a V, y sea f(x) la abscisa final de este punto. Suponga que el blo-
que queda en equilibrio cuando Mestá directamente arriba de V.
(a) Determine el dominio y rango de f.
(b) En el dominio de f, ¿en dónde es discontinua?
(c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f(véase el problema 59).
ƒf1x2ƒ=21f1x222.
y
x
–
1
x
0
1
M
V
V
y
x
–
1
f
(
x
)
0
1
M
Po
sici
ó
n inicia
l
Po
sici
ó
n fina
l
Figura 16
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 2. To-
dos los enteros 3.
4. a; b; f1c2=W
lím
x:a+ f1x2=f1a2; lím
x:b- f1x2=f1b2
lím
x:c f1x2
1.7 Repaso del capítulo
Examen de conceptos
A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o
falso. Justifique sus respuestas.
1. Si entonces
2. Si entonces
3. Si existe, entonces f(c) existe.
4. Si entonces para toda existe una d70,
tal que implica
5. Si f(c) no está definida, entonces no existe.
lím
x:c f1x2
ƒf1x2ƒ6e.
06ƒxƒ6d
e70
lím
x:0 f1x2=0,
lím
x:c f1x2f1c2=L.
lím
x:c f1x2=L,
lím
x:c f1x2=L.
f1c2=L,
6. Las coordenadas del agujero en la gráfica de
son (5, 10).
7. Si p(x) es un polinomio, entonces
8. no existe.
9. Para todo número real c,
10. tan xes continua en todo punto de su dominio.
lím
x:c tan x=tan c.
lím
x:0
sen x
x
lím
x:c p1x2=p1c2.
y=x2-25
x-5
Sección 1.7 Repaso del capítulo 91
11. La función f(x) =2 sen2x-cos xes continua en todos los nú-
meros reales.
12. Si fes continua en c, entonces f(c) existe.
13. Si fes continua en el intervalo (1, 3),entonces fes continua en 2.
14. Si fes continua en [0, 4], entonces existe.
15. Si fes una función continua tal que A…f(x) …Bpara toda x,
entonces existe y satisface
16. Si fes continua en (a,b), entonces para to-
da cen (a,b).
17.
18. Si la recta y=2 es una asíntota horizontal de la gráfica de y=
f(x), entonces
19. La gráfica de y=tan xtiene muchas asíntotas horizontales.
20. La gráfica de tiene dos asíntotas verticales.
21.
22. Si entonces fes continua en x=c.
23. Si entonces fes continua en x=c.
24. La función es continua en x=2.3.
25. Si entonces f(x) 61.001f(2) para toda
xen algún intervalo que contenga a 2.
26. Si existe, entonces existen y
.
27. Si 0 …f(x) …3x2+ 2x4para toda x, entonces
28. Si y entonces L=M.
29. Si f(x) Zg(x) para toda x, entonces
30. Si f(x) 610 para toda xy existe, entonces
31. Si entonces
32. Si fes continua y positiva en [a,b], entonces 1>fdebe tomar
todos los valores entre 1>f(a) y 1>f(b).
Problemas de examen
En los problemas del 1 al 22 encuentre los límites indicados o establez-
ca que no existen.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14. lím
x:1- ƒx-1ƒ
x-1
lím
t:2- 1Œtœ-t2
lím
x:1>2+ Œ4xœ
lím
x:0-
ƒxƒ
x
lím
x:0 cos x
x
lím
x:4 x-4
1x-2
lím
y:1 y3-1
y2-1
lím
x:0 tan x
sen 2x
lím
z:2 z2-4
z2+z-6
lím
x:2 1-2>x
x2-4
lím
u:1 u+1
u2-1
lím
u:1 u2-1
u-1
lím
u:1
u2-1
u+1
lím
x:2 x-2
x+2
lím
x:a
ƒf1x2ƒ=ƒbƒ.lím
x:a f1x2=b,
lím
x:2 f1x2610.
lím
x:2 f1x2
lím
x:c f1x2Zlím
x:c g1x2.
lím
x:a f1x2=M,lím
x:a f1x2=L
lím
x:0 f1x2=0.
lím
x:c g1x2lím
x:c f1x2lím
x:c [ f1x2+g1x2]
lím
x:2 f1x2=f12270,
f1x2=Œx>2œ
lím
x:c f1x2=f
A
lím
x:c x
B
,
lím
x:c- f1x2=lím
x:c+ f1x2,
lím
t:1+
2t
t-1=q.
y=1
x2-4
lím
x:q f1x2=2.
lím
x:q
sen x
x=1
lím
x:c f1x2=f1c2
A…lím
x:q f1x2…B.lím
x:q f1x2
lím
x:0 f1x2
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. Por medio de argumentos e-ddemuestre que
24. Sea
Determine cada valor.
(a) (b)
(c) (d)
25. Con respecto a fdel problema 24. (a) ¿Cuáles son los valores
de xen los cuales fes discontinua? (b) ¿Cómo se debe definir fen
x= -1 para hacer que sea continua allí?
26. Proporcione la definición e–den cada caso.
(a) (b)
27. Si y y si ges continua en x=3,
encuentre cada valor.
(a) (b)
(c) g(3) (d)
(e) (f)
28. Dibuje la gráfica de una función fque satisfaga todas las con-
diciones siguientes.
(a) Su dominio es [0, 6].
(b)
(c) fes continua, excepto en x=2.
(d) y
29. Sea
Determine ay bde modo que fsea continua en todas partes.
30. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la
ecuación x5-4x3-3x+ 1 =0 tiene al menos una solución entre x=2
y x=3.
En los problemas del 31 al 36 determina las ecuaciones de todas las
asíntotas horizontales y verticales para la función dada.
31. 32.
33. 34.
35. 36. H1x2=sen x
x2
h1x2=tan 2x
G1x2=x3
x2-4
F1x2=x2
x2-1
g1x2=x2
x2+1
f1x2=x
x2+1
f1x2=c-1 si x…0
ax +bsi 0 6x61
1 si xÚ1
lím
x:5+ f1x2=3.lím
x:2- f1x2=1
f102=f122=f142=f162=2.
lím
x:3
ƒg1x2-g132ƒ
f1x2
lím
x:3 2f21x2-8g1x2
lím
x:3 g1f1x22
lím
x:3 g1x2
x2-9
x-3
lím
x:3 [2f1x2-4g1x2]
lím
x:3 g1x2= - 2lím
x:3 f1x2=3
lím
x:a- f1x2=Llím
u:a g1u2=M
lím
x:-1 f1x2lím
x:1- f1x2lím
x:1+ f1x2f(1)
f1x2=cx3si x6 -1
xsi -16x61
1-xsi xÚ1
lím
x:312x+12=7.
lím
x:0+
1+sen x
x
lím
x:p>4- tan 2x
lím
x:0+
cos x
x
lím
t:2 t+2
1t-222
lím
t:q
sen t
t
lím
x:q
x-1
x+2
lím
x:0 1-cos 2x
3x
lím
x:0 sen 5x
3x
1. Sea f(x) =x2. Determine y simplifique cada uno de lo siguiente.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
2. Repita las partes desde (a) hasta (h) del problema 1 para la función f(x) =1>x.
3. Repita las partes desde (a) hasta (h) del problema 1 para la función
4. Repita las partes desde (a) hasta (h) del problema 1 para la función f(x) =x3+ 1.
5. Escriba los primeros dos términos en el desarrollo de los binomios siguientes:
(a) (b)
(c)
6. Con base en sus resultados del problema 5 haga una conjetura acerca de los primeros dos
términos en el desarrollo de (a+ b)npara una narbitraria.
7. Utilice una identidad trigonométrica para escribir sen(x+ h) en términos de sen x, sen h,
cos xy cos h.
8. Utilice una identidad trigonométrica para escribir cos(x+ h) en términos de cos x, cos h,
sen xy sen h.
9. Una rueda con centro en el origen y radio de 10 centímetros gira en sentido contrario a
las manecillas del reloj con una rapidez de 4 revoluciones por segundo. Un punto Pen el borde
de la rueda se encuentra en la posición (10, 0) en el instante t=0.
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de Pen los instantes t=1, 2, 3?
(b) ¿En qué primer instante el punto Pregresará a la posición inicial (10, 0)?
10. Suponga que una pompa de jabón conserva su forma esférica cuando se expande. En el
instante t=0 la burbuja de jabón tiene radio de 2 centímetros. En el instante t=1, el radio aumen-
tó a 2.5 centímetros. En este intervalo de 1 segundo, ¿cuánto cambió el volumen?
11. Un aeroplano despega de un aeropuerto al mediodía y vuela con rumbo norte a 300 mi-
llas por hora. Otro avión parte del mismo aeropuerto una hora después y vuela con rumbo este a
400 millas por hora.
(a) ¿Cuáles son las posiciones de los aeroplanos a las 2:00 P.M.?
(b) ¿Cuál es la distancia que separa a los dos aeroplanos a las 2:00 P.M.?
(c) ¿Cuál es la distancia entre los aeroplanos a las 2:15 P.M.?
1a+b251a+b24
1a+b23
f1x2=1x.
lím
h:0
f1a+h2-f1a2
1a+h2-a
f1a+h2-f1a2
1a+h2-a
f1a+h2-f1a2f1a+h2
f12.12-f122
2.1 -2
f12.12-f122
f(2.1)f(2)
PROBLEMAS
DE REPASO E
INTRODUCCIÓN
